L'entropia

Liceo classico “Socrate”

Bari

Anno scolastico 2007-2008

L'entropia

Di Walter Brattelli

ℐ

Classe III sezione

Indice

• 1. Cenni storici 2
• 2. Disordine crescente 4
• 3. Reversibile ed irreversibile 6
• 4. L'entropia 10
• 5. Microstati e macrostati 14
• 6. L'equazione di Boltzmann per l'entropia 16
• 7. Il terzo principio della termodinamica 19
• 8. La morte termica dell'Universo 20
• Nota bibliografica 22

1

1. Cenni storici

Sadi Carnot (1796-1832), William Thomson (1824-1907), Rudolf Clausius (1822-1888)

Agli inizi del XVIII l'invenzione di un nuovo macchinario, la macchina a vapore, segnò la data di nascita (sebbene si sia sviluppata effettivamente solo nel XIX secolo) di una nuova scienza: la termodinamica¹.

Essa nacque dalla necessità di comprendere nel modo più rigoroso possibile il funzionamento di questi nuovi dispositivi e di renderli più produttivi, di aumentarne quindi il rendimento.

La termodinamica delle origini, infatti, svelava un interesse ed un fine puramente economico, dovuto sostanzialmente al clima settecentesco della rivoluzione industriale che si respirava in Europa e specialmente in Inghilterra, dove questa scienza trovò terreno assai fertile con la ricerca scientifica di William Thomson (1824-1907), rinominato poi Lord Kelvin per meriti scientifici.

Tuttavia fu il fisico francese Sadi Carnot (1796-1832) il personaggio chiave nell'evoluzione della termodinamica ottocentesca.

Egli infatti pose una pietra miliare nella storia delle scienze moderne: mediante l'ideazione di un ciclo ideale di trasformazioni (isoterme ed adiabatiche²) egli arrivò ad affermare che la produzione di lavoro meccanico avviene grazie al passaggio di calore da un corpo caldo ad uno freddo, e che la macchina termica ha un rendimento massimo (una determinata quantità di calore poteva produrre al massimo una determinata quantità di lavoro).

Tale rendimento massimo non poteva, e non potrà mai, essere raggiunto.

Le macchine termiche reali infatti, per quanto perfezionabili, non riusciranno mai ad avere un rendimento del 100%, poiché vi è sempre una certa dispersione di energia.

Ne consegue dunque che non è possibile costruire una macchina termica reversibile (come quella ipotizzata da Carnot) capace di convertire integralmente il calore in lavoro e viceversa.

Lo studio della macchina a vapore, che aveva contribuito a rivelare l'esistenza di una grandezza costante e indistruttibile quale l'energia (secondo il primo principio della termodinamica), presto portò all'acquisizione di un'altra consapevolezza da parte del mondo scientifico: l'energia viene costantemente dissipata, essa diviene a poco a poco inutilizzabile (tale è il significato intrinseco del secondo principio della termodinamica).

Fu introdotta quindi una nuova grandezza fisica che serviva proprio ad indicare questa “incapacità” di un sistema di compiere un lavoro, l'entropia.

Se infatti la condizione necessaria affinché una macchina termica produca un certo lavoro è di avere un certo dislivello termico fra due sorgenti, ogni scambio di calore che non si verificava all'interno della macchina termica venne interpretato come effettiva perdita di lavoro meccanico.

La parola entropia fu usata per la prima volta dal fisico tedesco Rudolf Clausius (1822-1888) nel suo Trattato sulla teoria meccanica del calore (Abhandlungen über die mechanische Wärmetheorie) pubblicato nel 1864.

Entropia significa letteralmente confusione, o rivolgimento (dal greco “ ”dentro e “ ” ἐντροπή trasformazione, o cambiamento). –

«Poiché sono dell'opinione che i nomi di quantità di questo tipo che sono così importanti per la scienza debbano essere derivati dai linguaggi degli antichi [...], propongo di chiamare la grandezza S con il nome di entropia del corpo, partendo dalla parola greca tropé che significa trasformazione.

Intenzionalmente ho formato il termine di entropia in modo da renderlo il più possibile simile al termine energia: infatti entrambe queste quantità [...] sono così strettamente connesse l'una all'altra dal punto di vista del significato fisico, che mi pare utile una certa analogia anche nei loro nomi.»

(R. Clausius, Trattato sulla teoria meccanica del calore)

Con questo nuovo vocabolo Clausius dunque intendeva fare riferimento al legame tra calore e movimento interno, definendo l'entropia come il rapporto tra la somma degli infinitesimi incrementi di calore e la temperatura assoluta della sorgente termica durante l'assorbimento di calore.

4

In termodinamica l'entropia è una funzione di stato che viene interpretata in svariati modi:

• Come misura del disordine di un sistema fisico (quando un sistema fisico passa da uno stato ordinato ad uno disordinato la sua entropia aumenta);
• Come freccia del tempo (essa indica infatti il verso in cui le trasformazioni fisiche avvengono, segnando una netta distinzione fra passato e futuro);
• Come misura dell'incapacità di un sistema fisico di compiere un lavoro (quando la capacità di un sistema fisico di compiere un lavoro diminuisce, l'entropia aumenta).

Esistono pertanto varie definizioni di entropia. In questa occasione ci soffermeremo soprattutto sulla sua definizione matematica, non senza accenni alle altre (che ne sono la diretta conseguenza).

La termodinamica, con l'introduzione in particolare del concetto di entropia, ha dato infatti un forte scossone a tutti coloro che si adagiavano sugli allori del materialismo, che faceva del primo principio della termodinamica un supremo garante della durata eterna e dell'immutabilità della natura e dell'Universo.

Questa era sostanzialmente la visione della realtà secondo il modello meccanicistico.

Il secondo principio della termodinamica ha mostrato invece che, sebbene l'energia totale resti costante, essa perda attraverso le trasformazioni la sua qualità iniziale, passando da energia nobile ad energia termica a basse temperature, inutilizzabile per l'uomo.

Come spesso succede dopo la pubblicazione delle più grandi opere scientifiche, le implicazioni scientifico-filosofiche fioriscono rapidamente.

Come avremo modo di vedere nella sezione 8, una delle più importanti è forse quella inerente alla fase finale della vita dell'Universo.

2. Disordine crescente

Per poter parlare di entropia è necessario prima di tutto soffermarsi sui due tipi fondamentali di trasformazioni che conosciamo. Le trasformazioni reversibili e quelle irreversibili.

In La legge fisica del Premio Nobel Richard Feynman (1918-1988) è possibile leggere:

«È ovvio a tutti che i fenomeni del mondo sono chiaramente irreversibili. Ciò significa che le cose accadono in un verso, e non in un altro. Se lasciate cadere una tazza e questa si rompe, avrete da star seduti per lungo tempo se aspettate che i pezzi ritornino insieme e vi saltino in mano. Se guardate le onde del mare rompersi, avrete da aspettare un pezzo prima che arrivi il grande momento in cui la spuma si raccoglie insieme, sorge fuori dal mare e ricade indietro più distante dalla riva. Sarebbe molto bello!»

Tutto il capitolo cinque, intitolato Passato e futuro, è incentrato sulla riflessione sul tempo e sul verso di percorrenza dei fenomeni fisici.

In generale le leggi che descrivono il comportamento degli atomi sono indipendenti dal verso di scorrimento del tempo, ovvero invarianti per inversione temporale.

Tuttavia, nonostante la maggior parte delle leggi fisiche siano teoricamente invertibili, i fenomeni che esse descrivono in realtà non lo sono.

Per fare un esempio pratico, immaginiamo di lasciar cadere delle gocce di inchiostro nero in un bicchiere colmo d'acqua.

Lentamente l'inchiostro diffonderà nel volume disponibile.

Non resteranno gocce di inchiostro isolate nel liquido, ma avremo una miscela omogenea di colore piuttosto scuro.

Oppure, immaginiamo di aprire una boccetta di profumo in una stanza.

Sebbene all'inizio esso si potrà sentire bene solo nei pressi della boccetta stessa, col tempo il profumo diffondendosi potrà essere percepito in tutto l'ambiente (chiuso) circostante.

Questi processi di diffusione avvengono in maniera del tutto spontanea.

I processi inversi, al contrario, non avvengono e non avverranno mai spontaneamente in natura.

È come sperare che le palline colorate (in principio posizionate in perfetto ordine) di una vasca ludica si vengano a disporre in modo ordinato grazie allo stesso moto caotico provocato dal bambino all'interno del sistema, che le ha messe in disordine.

Feynman propone un altro esempio, forse banalizzando, ma che esprime bene il concetto:

Supponiamo di avere in una vasca dell'acqua blu (con inchiostro) e dell'acqua bianca (priva di inchiostro) in uguale quantità e separate da una parete che solleviamo lentamente.

All'inizio l'acqua rimane separata, il blu da una parte e il bianco dall'altra.

A poco a poco tuttavia il blu diffonde e dopo qualche tempo l'acqua diventa azzurra: il colore si è distribuito uniformemente.

A questo punto (in una situazione di equilibrio dinamico) i colori non si separano più spontaneamente, ovvero da soli.

Sarebbe possibile separarli facendo evaporare l'acqua, facendola condensare in un altro contenitore, raccogliendo il blu e sciogliendolo in metà del volume dell'acqua condensata.

Mentre facciamo tutte queste operazioni, tuttavia, noi stessi staremmo «causando fenomeni irreversibili».

Da sola dunque la miscela non può tornare indietro allo stato iniziale.

Da un punto di vista microscopico infatti gli urti tra le molecole sono perfettamente reversibili, ma macroscopicamente l'intero processo non lo è.

Perché? Perché è semplicemente improbabile.

Se fossimo in presenza di quattro sole molecole (schematizzando, due bianche e due blu), esse nel loro moto caotico, urtandosi, dopo qualche istante potrebbero disporsi in modo ordinato (in un volume ridotto, vicine tra loro, le molecole blu a sinistra e le molecole bianche a destra).

Il problema è che non abbiamo mai a che fare con così poche molecole, ma con milioni di milioni di milioni di milioni di molecole semmai.

E la probabilità che esse si dispongano ordinatamente le une bianche da una parte e le altre blu dall'altra sono praticamente nulle.

I loro moti sono completamente scorrelati e diretti in tutte le direzioni.

Effettuando il calcolo delle probabilità infatti, un simile evento (una spontanea disposizione ordinata delle molecole), pur non essendo impossibile, dato l'elevatissimo numero di molecole è a tal punto improbabile che in pratica non potrebbe mai avvenire.

C'è poco da fare:

«Il disordine è incommensurabilmente più probabile dell'ordine.» (V. Silvestrini, Che cos'è l'entropia)

«La mescolanza non si invertirà mai, quand'anche si attendesse sino alla fine dell'Universo: ecco perché si dice così spesso che la Seconda Legge della termodinamica è la parte della fisica in conseguenza della quale il tempo è una via a senso unico.» (J. Gleick, Caos)

Il secondo principio della termodinamica (nella forma dell'enunciato di Clausius) afferma infatti che è impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello di far passare calore da un corpo più freddo ad uno più caldo.

Tale enunciato esprime sostanzialmente il fatto che la natura tenda a livellare le differenze di temperature (portando i due corpi in una condizione di equilibrio termico) e non ad accentuarle: un corpo caldo, messo a contatto con un corpo meno caldo, non potrebbe mai diventare (naturalmente) ancora più caldo di quanto già non sia.

Il calore non passa mai spontaneamente dai corpi freddi a quelli caldi.

La natura quindi è asimmetrica.

Tutti i fenomeni che avvengono nell'Universo evolvono spontaneamente da situazioni di ordine verso situazioni di disordine.

«L'ordine non si crea spontaneamente... il disordine si.» (V. Silvestrini, Che cos'è l'entropia)

«Una delle regole fondamentali dell'Universo è dunque che si passa da una condizione ordinata a una disordinata.» (R. Feynman, La legge fisica)

«È la tendenza inesorabile dell'Universo, e di ogni sistema fisico isolato in esso presente, scivolare verso uno stato di disordine crescente.» (J. Gleick, Caos)