Cerchio tesina

Definizione di circonferenza e cerchio

1. Definizione di circonferenza

La circonferenza è il luogo dei punti di un piano che hanno distanza assegnata da un punto dato

detto centro.

2. Definizione di cerchio

Il cerchio è la figura costituita da tutti i punti di una circonferenza e dai suoi punti interni.

 Linee di campo magnetico generato da un filo percorso da corrente

Nel 1820 Ǿrsted osservò che un filo percorso da corrente influenza l’orientamento di un ago

magnetico posto nelle vicinanze. Tale scoperta dimostra il legame tra il moto delle cariche

elettriche e la creazione del campo magnetico, dando inizio alla disciplina nota come

elettromagnetismo.

Quando in un filo rettilineo molto lungo scorre una corrente elettrica, gli aghi magnetici si

dispongono lungo una circonferenza attorno al filo: dunque le linee di campo del campo

magnetico prodotto dalla corrente sono circonferenze concentriche al filo stesso. La direzione ed

il verso del campo magnetico possono essere determinati dalla seconda regola della mano

destra, mentre l’intensità di tale campo è data dalla legge di Biot–Savart, che afferma che

l’intensità B del campo magnetico generato da un filo rettilineo percorso da corrente è

direttamente proporzionale alla corrente I che lo percorre e inversamente proporzionale alla

distanza radiale r dal filo secondo la costante di proporzionalità μ /2 , dove μ è detta

0 0

–7

permeabilità magnetica del vuoto e vale 4 10 T m /A

Legge di Biot–Savart: 3

Calcolo dell’area e del perimetro del cerchio

Archimede di Siracusa sfruttando il metodo di esaustione determinò con buona approssimazione

la misura della lunghezza della circonferenza, dell’area del cerchio e di numerose altre superfici.

Si può pensare al metodo di esaustione come una prima versione di calcolo integrale, perché si

basava sull’idea di approssimare una superficie curva attraverso una sequenza di poligoni inscritti

e circoscritti dal numero di lati via via crescenti. Ai matematici greci però mancava il concetto di

limite: il metodo di esaustione non comprendeva nessun passaggio al limite e si arrivava a

dimostrare la tesi attraverso un ragionamento per assurdo.

Per determinare l’area del cerchio Archimede considerò una successione di poligoni inscritti e

una successione di poligoni circoscritti, le cui aree rappresentavano rispettivamente una stima

per difetto ed una stima per eccesso dell’area del cerchio. In termini moderni si può dire che,

comunque preso ε piccolo a piacere, esiste sempre un poligono inscritto tale che la differenza tra

l’area A del cerchio e l’area del poligono è inferiore ad ε. La tesi si prova per assurdo: se si

suppone che il cerchio abbia un’area A’ inferiore ad A, allora esiste un poligono inscritto la cui

area è maggiore di A’, ma essendo esso un poligono inscritto, la sua area non può superare

quella del cerchio. Ragionamento analogo vale per i poligoni circoscritti.

Archimede utilizzò un procedimento analogo per il calcolo della misura della circonferenza. Il

rapporto fra la lunghezza (l) di una circonferenza e il suo diametro (d) era una costante: = π. Un

risultato molto accurato di tale valore fu trovato da Archimede stesso, che giunse a stabilirlo con

un errore di appena due millesimi.

 L’integrale definito

Sia y = f(x):[a;b]→ℝ

f è continua e positiva

Si chiama trapezoide la figura piana delimitata dall’asse x, dalle rette x=a e x=b e dal grafico di

f(x).

L’area del trapezoide può essere approssimata per difetto da (somma parziale ennesima

n

inferiore). Dividiamo l’intervallo [a;b] in parti di ampiezza e consideriamo i rettangoli

m f

aventi per base un segmento di suddivisione e per altezza il segmento minimo che assume in

i

n

quell’intervallo. sarà uguale alla somma delle aree di questi rettangoli: 4

In maniera analoga possiamo approssimare l’area del trapezoide per eccesso (somma parziale

h M

ennesima superiore), considerando rettangoli di base e per altezza il segmento massimo che

i

f assume in quell’intervallo.

Le due successioni sono insiemi contigui; l’area del trapezoide è: .

Utilizzando l’ipotesi di continuità della funzione in [a;b], si può dimostrare che le due successioni

convergono allo stesso limite:

Tale limite prende il nome di integrale definito e fornisce la misura dell’area S del trapezoide

relativo ad f(x) nell’intervallo [a;b].

La funzione è continua di segno qualsiasi.





Proprietà dell’integrale definito. 





 



 5

Dimostrazione del Teorema della Media

ℝ Significato geometrico

– Dimostrazione

Poiché la funzione è continua nell’intervallo [a;b], allora per il teorema di Weierstrass essa

è dotata di un massimo e di un minimo assoluti. Vale quindi la seguente disuguaglianza:

Per la proprietà sul confronto tra integrali di due funzioni, vale la disuguaglianza:

Per la proprietà degli integrali sulle funzioni costanti otteniamo:

Dividiamo tutti i membri della disuguaglianza per (b–a): è un valore assunto da f, ossia

Per il teorema dei valori intermedi, il valore

esso è l’immagine di un punto c [a;b], quindi: 6

Il problema della quadratura del cerchio

Gli antichi greci erano affascinati dalla simmetria, dalla bellezza e dalla fine struttura logica della

geometria. Ciò che più li soggiogava era il modo in cui il semplice e l’elementare riuscivano a

fondare il complesso e l’intricato soprattutto per quanto riguarda l’architettura. I geometri

riuscivano a costruire figure perfette ad una dimensione (la linea retta) e a due dimensioni (la

circonferenza), costruzioni che erano alla portata delle tecnologie dell’epoca ma che erano anche

in linea con i canoni estetici. Con riga e compasso è possibile semplicemente dividere in due parti

uguali segmenti e angoli, tracciare rette parallele e perpendicolari, ma anche creare poligoni

regolari di grande bellezza. Ai matematici del V secolo a.C., tuttavia, si presentava una sfida più

ambiziosa: il problema della quadratura di una figura piana; con questo termine s’intende:

Definizione di quadratura

La quadratura di una figura piana è la costruzione (usando solo riga e compasso) di un quadrato

avente area uguale a quella della figura piana considerata. Se questa costruzione può essere

seguita, si dirà che quella certa figura è quadrabile.

Risolvere la quadratura significava realizzare il sogno di un mondo naturale governato dalla

ragione e dall’ordine, sostituendo l’asimmetrico con il simmetrico, l’imperfetto con il perfetto,

l’irrazionale con il razionale. Il problema della quadratura del cerchio restava però irrisolto, non

certo per mancanza di tentativi: a poco a poco i matematici cominciarono a sospettare che la

quadratura del cerchio con riga e compasso fosse una costruzione impossibile. Se però tale

costruzione fosse stata davvero impossibile, i matematici avrebbero dovuto ugualmente

dimostrare la sua impossibilità. Non è in discussione l’esistenza di un quadrato con area uguale a

quella di un cerchio dato, ma la possibilità di costruirlo con riga e compasso.

Il problema della quadratura del cerchio rimase irrisolto dai tempi di Ippocrate fino a circa un

secolo fa. Nel 1882, infatti, il matematico tedesco F. Lindemann riuscì a dimostrare

definitivamente che la quadratura del cerchio è un compito impossibile: egli cominciò a trasferire

il problema dall’ambito geometrico a quello numerico, distinguendo tra numero algebrico e

numero trascendente, arrivando a dimostrare che la quadratura del cerchio è impossibile. 7

 Dante e la quadratura del cerchio

“Qual è 'l geomètra che tutto s'affige

per misurar lo cerchio, e non ritrova,

pensando, quel principio ond' elli indige,

tal era io a quella vista nova:

veder voleva come si convenne

l'imago al cerchio e come vi s'indova”

(vv. 133 – 138; Canto XXXIII, Pd.)

Dante nel XXXIII canto del Paradiso cerca di comprendere il rapporto tra l’immagine umana di

Cristo e il cerchio in cui è rappresentata la divinità, come lo studioso di geometria cerca la

quadratura del cerchio. La sottigliezza della similitudine è davvero notevole: la quadratura del

cerchio (così come l’incarnazione di Cristo) non è impossibile da ottenere in linea di principio, ma

diventa impossibile se ci si limita all’utilizzo di determinati strumenti, come riga e compasso per

la quadratura e la limitata mente umana per l’incarnazione. Il processo che porta non solo alla

rivelazione ma all’acquisizione di essa necessita uno sforzo continuo dell’intelletto: il poeta non è

solo oggetto passivo dell’azione divina, ma prova l’esperienza dell’oltraggio (emozioni che

eccedono ogni umana misura) che corrisponde alla poesia dell’ineffabile. Al centro del canto

emerge dunque una visione dello spettacolo divino in forma evocativa e non descrittiva tramite

l’uso di astratte rappresentazioni geometriche (anche il mistero della Trinità è affidato

all’immagine di tre cerchi concentrici). Torna, quasi ossessivo, il rammarico di non poter

descrivere in parole l’estasi che la Grazia gli ha concesso, così come torna paradossalmente la

celebrazione della propria poesia, che non cede alla tentazione del silenzio: l’alta fantasia di

Dante, legata alla sua razionalità, non può procedere oltre nella sua impresa, ma è proprio nella

sua poesia che rimane la traccia della lotta che l’eroe di questo viaggio ha combattuto.

Analisi del Canto XXXIII, Paradiso

L'ultimo Canto del Paradiso e del poema appare diviso nettamente in due parti, corrispondenti

alla preghiera che san Bernardo rivolge alla Vergine perché questa interceda presso Dio e

consenta a Dante la visione finale della Sua essenza (vv. 1-39) e alla descrizione della visione

stessa (vv. 40-145), che nonostante si concluda con la «folgorazione» mistica che permette a

Dante l'appagamento di tutti i suoi desideri conserva innegabilmente un carattere intellettuale e

razionale.

La santa orazione che Bernardo rivolge a Maria è considerata una captatio benevolentiae in cui

Bernardo sottolinea l'altezza e al contempo l'umiltà di Maria, scelta da Dio per l'altissimo

compito di mettere al mondo Cristo per sancire la pace tra Cielo e Terra. Di Maria i tratti che la

caratterizzano sono la misericordia, la pietà, la magnificenza e la bontate, per cui a buon diritto

Bernardo le si rivolge implorando il suo aiuto in favore di Dante: è questo il motivo per cui la

Vergine dovrà fare in modo che tale visione non sia letale ai sensi mortali del poeta, così che egli

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possa scriverne negli alti versi del suo poema. Tutti i beati si uniscono alla implorazione di

Bernardo unendo le mani in preghiera; tutti gli sguardi dell'Empireo sono rivolti a Dante in

procinto di fissare il suo nella mente di Dio.

Dante può fissare la mente di Dio e da qui sino alla fine del Canto è come se tutti gli altri

personaggi della narrazione scomparissero, poiché il poeta dovrà contemplare l'Assoluto senza

altri intermediari che non siano la ragione e il puro intelletto. Per rappresentare la sproporzione

tra l'altezza delle cose vedute e l'angustia dei suoi limiti umani Dante ricorre a più di una

similitudine tratta dall'ambito domestico o mitologico.

Tre sono i misteri che a Dante è dato contemplare fissando il suo sguardo nella profondità della

mente di Dio, ovvero l'unità dell'Universo, la Trinità e l'Incarnazione: per rappresentarli non può

che ricorrere a delle similitudini, ma mentre per il primo usa l'immagine concreta del volume che

raccoglie e unifica tutto ciò che si squaderna per il Cosmo, per gli altri si serve di una pura

astrazione matematica, ovvero dei tre cerchi rappresentanti le Persone Divine (il Figlio generato

dal padre e lo Spirito Santo che procede da entrambi, come una fiamma che spira dai primi due

cerchi) e dell'effigie umana dipinta con lo stesso colore entro il cerchio che corrisponde al Figlio.

Il poema si chiude con la solenne dichiarazione del compimento del desiderio di conoscenza da

parte del poeta, che trae origine dall'atto di grazia che gli è stato concesso dall'amore divino.