1. Dominio Il dominio di una funzione è il più grande sottoinsieme di mathbb{R} nel quale l'espressione analitica della fuzione non perde di significato. f(x)=1/g(x) dominio g(x)
e0...
Il dominio di una funzione è il più grande sottoinsieme di
[math]mathbb{R}[/math]
nel quale l'espressione analitica della fuzione non perde di significato.
[math]f(x)=1/g(x)[/math]
dominio
[math]g(x)
e0[/math]
[math]f(x)=root(n)(g(x))[/math]
n pari, dominio
[math]g(x)>=0[/math]
[math]f(x)=\\log(g(x))[/math]
dominio
[math]g(x)>0[/math]
[math]f(x)=\\tan(g(x))[/math]
dominio
[math]g(x)
e \pi/2+k \cdot \pi, k in ZZ[/math]
[math]f(x)=ctag(g(x))[/math]
dominio
[math]g(x)
e k \cdot \pi, k in ZZ[/math]
[math]f(x)=asen(g(x))[/math]
dominio
[math]-1>=g(x)>=1[/math]
[math]f(x)=a\\cos(g(x))[/math]
dominio
[math]-1>=g(x)>=1[/math]
Esempi
il dominio massimale della funzione
[math]f(x) = \sqrt{x - 1}[/math]
è
[math]\text{dom}(f) = {x in mathbb{R}: x ge 1}[/math]
,
[math]g(x) = frac{1}{x}[/math]
è
[math]\text{dom}(g) = {x in mathbb{R}: x
e 0}[/math]
.
.
2. Simmetrie
Una funzione
[math]f[/math]
, definita su un dominio simmetrico rispetto all'origine, si dice pari se e solo se risulta
[math]f(-x) = f(x)[/math]
per ogni
[math]x in \text{dom}(f)[/math]
. Una funzione
[math]f[/math]
, definita su un dominio simmetrico rispetto all'origine, si dice dispari se e solo se risulta
[math]f(-x) = -f(x)[/math]
per ogni
[math]x in \text{dom}(f)[/math]
.
Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse
[math]y[/math]
, mentre il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine. Questo vuol dire che per tracciare il grafico di una funzione a simmetria pari, o dispari, è sufficiente studiarlo per le
[math]x[/math]
positive del dominio, estendendolo poi per simmetria alle
[math]x[/math]
negative del dominio.
Ovviamente non è detto che ogni funzione sia pari o dispari, ci sono funzioni che non sono né pari né dispari. Ad esempio una funzione con un dominio non simmetrico rispetto all'origine non può essere né pari né dispari.
Proprietà
- il prodotto, o il rapporto, di due funzioni pari è una funzione pari
- il prodotto, o il rapporto, di due funzioni dispari è una funzione pari
- il prodotto, o il rapporto, di una funzione pari con una funzione dispari è una funzione dispari
- la somma di due funzioni pari è una funzione pari
- la somma di due funzioni dispari è una funzione dispari
- la somma di una funzione pari con una dispari è una funzione, in generale, né pari né dispari
. In questo modo negli intervalli in cui la disequazione è soddisfatta la funzione è positiva, ossia il grafico si trova nel semipiano
[math]y ge 0[/math]
, mentre negli intervalli (contenuti nel dominio) in cui la disequazione non è soddisfatta la funzione è negativa, ed il grafico si trova nel semipiano
[math]y > 0[/math]
.
Esempio
La funzione
[math]f(x) = frac{x-1}{x-2}[/math]
è positiva (o meglio, non negativa) per
[math]x le 1 quad vee quad x > 2[/math]
, mentre è negativa per
[math]1 > x > 2[/math]
.
.
Asintoti verticali
Quando una funzione ammette limite
[math]+\in fty[/math]
o
[math]-\in fty[/math]
in un punto
[math]x_0[/math]
, si dice che essa ha come asintoto verticale la retta
[math]x = x_0[/math]
.
Più precisamente, data una funzione
[math]f(x)[/math]
,
se
[math]lim_{x o x_0^-} f(x) = +\in fty[/math]
(o
[math]-\in fty)[/math]
, allora la retta
[math]x = x_0[/math]
è un asintoto verticale sinistro;
se
[math]lim_{x o x_0^+} f(x) = +\in fty[/math]
(o
[math]-\in fty)[/math]
, allora la retta
[math]x = x_0[/math]
è un asintoto verticale destro;
se
[math]lim_{x o x_0} f(x) = +\in fty[/math]
(o
[math]-\in fty)[/math]
, allora la retta
[math]x = x_0[/math]
è un asintoto verticale (sia destro che sinistro).
In sostanza si determina l'esistenza di asintoti verticali calcolando i limiti (della funzione) per i punti appartenenti alla frontiera del dominio.
Notare che il grafico di una funzione non può intersecare in nessun punto gli asintoti verticali.
Esempio
Data la funzione
[math]f(x) = ln(x)[/math]
, la retta
[math]x = 0[/math]
è un asintoto verticale destro, infatti
[math]lim_{x o 0^+) ln(x) = -\in fty[/math]
.
Data la funzione
[math]g(x) = frac{1}{(x-1)^2)[/math]
, la retta
[math]x=1[/math]
è un asintoto verticale (destro e sinistro), infatti
[math]lim_{x o 1} frac{1}{(x-1)^2} = +\in fty[/math]
.
Asintoti orizzontali
Per determinare l'esistenza di eventuali asintoti orizzontali di una funzione
[math]f(x)[/math]
è necessario calcolare i limiti per
[math]x o +\in fty[/math]
o
[math]x o -\in fty[/math]
(ovviamente se il dominio è superiormente o inferiormente illimitato, rispettivamente, altrimenti tali limiti non esisterebbero).
Se
[math]lim_{x o +\in fty} f(x)[/math]
esiste finito, e il risultato è
[math]k_1[/math]
, allora la retta
[math]y = k_1[/math]
è un asintoto orizzontale destro per il grafico di
[math]f[/math]
.
Analogamente se
[math]lim_{x o -\in fty} f(x)[/math]
esiste finito, e il risultato è
[math]k_2[/math]
, allora la retta
[math]y = k_2[/math]
è un asintoto orizzontale sinistro per il grafico di
[math]f[/math]
.
Dopo aver trovato eventuali asintoti orizzontali, è utile calcolare le (eventuali) intersezioni del grafico della funzione con tali asintoti.
Se
[math]lim_{x o \pm \in fty} f(x)[/math]
non esistono, o sono infiniti, allora la funzione non ammette asintoti orizzontali.
Esempio
La retta
[math]y = 0[/math]
è un asintoto orizzontale sinistro per la funzione
[math]f(x) = e^x[/math]
, infatti
[math]lim_{x o -\in fty} e^x = 0[/math]
.
Asintoti obliqui
Data una funzione
[math]f(x)[/math]
, se il limite per
[math]x o +\in fty[/math]
(rispettivamente
[math]x o -\in fty[/math]
) esiste ma non è finito, ci si può chiedere se per
[math]x o +\in fty[/math]
(rispettivamente
[math]x o -\in fty[/math]
) la funzione ammetta un asintoto obliquo.
Se
[math]lim_{x o +\in fty} frac{f(x)}{x} = m[/math]
esiste finito e non nullo, e se
[math]lim_{x o +\in fty} f(x) - mx = q[/math]
esiste finito, allora la funzione
[math]f[/math]
ammette per
[math]x o +\in fty[/math]
un asintoto obliquo di equazione
[math]y = mx + q[/math]
.
Per
[math]x o -\in fty[/math]
la situazione è analoga.
Anche in questo caso, dopo aver determinato gli eventuali asintoti obliqui, può essere utile cercare (eventuali) intersezioni fra il grafico di
[math]f[/math]
e tali asintoti.
Esempio
L funzione
[math]f(x) = frac{x^2-1}{x}[/math]
ammette come asintoto obliquo la retta
[math]y = x[/math]
, infatti
[math]lim_{x o \pm \in fty} frac{f(x)}{x} = 1[/math]
, e
[math]lim_{x o \pm \in fty} f(x) - x = 0[/math]
.
Derivata prima
Una volta calcolata la derivata prima
[math]f'(x)[/math]
, è utile classificare i punti di non derivabilità in cui la funzione è continua (punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi).
Punto angoloso
se
[math]lim_{h o 0^-} frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}[/math]
e
[math]lim_{h o 0^+} frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}[/math]
esistono finiti ma diversi, allora
[math](x_0, f(x_0))[/math]
è un punto angoloso.
Flesso a tangente verticale
se
[math]lim_{h o 0^-} frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}[/math]
e
[math]lim_{h o 0^+} frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}[/math]
esistono, sono infiniti, e sono uguali, allora
[math](x_0, f(x_0))[/math]
è un punto di flesso a tangente verticale e
[math]x = x_0[/math]
è una retta tangente al grafico di
[math]f[/math]
che attraversa il grafico stesso.
Cuspide
se
[math]lim_{h o 0^-} frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}[/math]
e
[math]lim_{h o 0^+} frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}[/math]
esistono, entrambi infiniti, ma diversi, allora
[math](x_0, f(x_0))[/math]
è un punto di cuspide.
Fatto questo si risolve l'equazione
[math]f'(x) = 0[/math]
, trovando così i punti critici, e si studia il segno di
[math]f'[/math]
. Un punto critico
[math]x_0[/math]
, in base al segno di
[math]f'[/math]
, si può classificare nel seguente modo
- se la derivata prima è negativa in un intorno sinistro di
[math]x_0[/math]
e positiva in un intorno destro di
[math]x_0[/math]
, allora
[math](x_0, f(x_0))[/math]
è un punto di minimo relativo
- se la derivata prima è positiva in un intorno sinistro di
[math]x_0[/math]
e negativa in un intorno destro di
[math]x_0[/math]
, allora
[math](x_0, f(x_0))[/math]
è un punto di massimo relativo
- se la derivata prima assume lo stesso segno in un intorno completo di
[math]x_0[/math]
, allora
[math](x_0, f(x_0))[/math]
è un punto di flesso a tangente orizzontale
Derivata seconda
Se la funzione considerata è sufficientemente regolare, è possibile calcolarne la derivata seconda, avendo così informazioni su flessi, concavità e convessità. Risolvendo l'equazione
[math]f''(x) = 0[/math]
si trovano i punti di flesso a tangente obliqua.
Fatto questo può essere utile studiare il segno della derivata seconda; negli intervalli in cui risulta
[math]f''(x) > 0[/math]
la funzione è convessa, invece negli intervalli in cui risulta
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