
Problema 2
Domanda 1
Funzione:
1. Il dominio della funzione:
2. La funzione è pari:
. Quindì il grafico è
simmetrico rispetto all'asse y.
3. Punto di intersezione del grafico
con l'asse y:
Quind\`i il punto di intersezione del grafico
con l'asse y è (0,2).
4. Punto di intersezione del grafico
con l'asse x:
\Rightarrow\qquad \mbox{impossibile}. [/math]
Quindì il grafico
non
interseca l'asse x.
5. Segno della funzione:
(-\infty,+\infty).[/math]
Quindì la funzione è sempre positiva.
6. Limiti:
7. Derivata:
8. Segno della derivata:
Quindì la funzione cresce nell'intervallo
e
decresce nell'intervallo
.
9. Punti critici:
\mbox{punto di massimo}[/math]
Il grafico
La tangente nel punto P:
La tangente nel punto Q:
Le tangenti si intersecano nel punto S(0,2). Quindì abbiamo un quandrilatero,
i vertici del quale hanno le coordinate: 0(0,0), P(-2,1), Q(2,1), S(0,2).
Possiamo trovare le lunghezze di tutti i lati:
PS=\sqrt{5}, \quad SQ=\sqrt{5}[/math]
e anche dei diagonali:
Vediamo che tutti i lati hanno la stessa lunghezza, quindì il quadrilatero
PSQO è un rombo. Avendo calcolato le lunghezze di tutti i segmenti, possiamo
ricavare i valori degli angoli:
Da qui ricaviamo i valori degli angoli:
\quad POQ = 53^{\circ}8'.[/math]
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Domanda 2
L'equazione della retta t che passa per l'origine
L'equazione della circonferenza
Il punto in cui la retta taglia la circonferenza possiamo trovare dal sistema
\begin{array}{l} y = kx \\ x^2 + (y-1)^2 = 1
\end{array}
\right. [/math]
la soluzione del quale ci permette di trovare le coordiante del punto A:
Le coordinate del punto B troviamo risolvendo il sistema
y=2
\end{array}
\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x = \frac2k \\
y=2
\end{array}
\right. [/math]
Qundi il punto B ha le coordinate
Se sostituiamo l'ascissa x di B e l'ordinata y di A nell'equazione della curva
otteniamo un'equazione giusta, quindi questi valori sono un punto di
, qualunque sia la retta t.
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Domanda 3
L'area della regione R
Un cerchio di raggio r ha l'area
La regione tra
e tutto l'asse x
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Domanda 4
Il solido W possiamo rappresentare come un insieme dei ``tubi'' con l'asse y, con raggio interno x, esterno x+dx e di altezza f(x).
Il volume di ogni tubo è il prodotto dell'area della sua base e della sua altezza.
La base è un anello di raggio interno x ed esterno x+dx, quindi l'area è
, mentre l'altezza è il valore della funzione nel punto x, cioè f(x).
Quindi il volume di ogni tubo uguale
Il volume del solido W è la somma dei volimi di questi tubi, quindi è un integrale
La spiegazione schematicamente possiamo illustrare con il disegno.