Matematica (PNI) - Traccia 2012

Pag. 1/2 Sessione ordinaria 2012

Seconda prova scritta

Ministero dell’Istruzione, dell’ Università e della Ricerca

Y557 – ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

CORSO SPERIMENTALE

PIANO NAZIONALE INFORMATICA

Indirizzo: MATEMATICA

Tema di:

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1   , si sa che è

Della funzione definita per 0 6

f, x

dotata di derivata prima e seconda e che il grafico

della sua derivata '(x), disegnato a lato, presenta

f

due tangenti orizzontali per = 2 e = 4. Si sa

x x

anche che (0) = 9, (3) = 6 e (5) = 3.

f f f

1. Si trovino le ascisse dei punti di flesso di

motivando le risposte in modo esauriente.

f

2. Per quale valore di la funzione presenta

x f

il suo minimo assoluto? Sapendo che

6

  

' ( ) 5 per quale valore di la funzione presenta il suo massimo assoluto?

f t dt x f

0

Sulla base delle informazioni note, quale andamento potrebbe avere il grafico di ?

3. f

Sia la funzione definita da = ( Si trovino le equazioni delle rette tangenti ai

4. x).

g g(x) x f

grafici di e di nei rispettivi punti di ascissa = 3 e si determini la misura, in gradi e primi

f g x

sessagesimali, dell’angolo acuto che esse formano.

PROBLEMA 2 x 

 ( ) ln

Siano e le funzioni definite da e .

g x x

f g f ( x ) e

1. Fissato un riferimento cartesiano si disegnino i grafici di e di e si calcoli l’area

Oxy, f g

1

 e = 1.

della regione R che essi delimitano tra x x

2

2. La regione R, ruotando attorno all’asse genera il solido S e, ruotando attorno all’asse il

x, y,

solido T. Si scrivano, spiegandone il perché, ma senza calcolarli, gli integrali definiti che

forniscono i volumi di S e di T.

Fissato > 0, si considerino le rette e tangenti ai grafici di e di nei rispettivi punti di

3. x r s f g

0

ascissa . Si dimostri che esiste un solo per il quale e sono parallele. Di tale valore

x x x

r s

0 0 0

si calcoli un’approssimazione arrotondata ai centesimi.

4. Sia = – Per quali valori di la funzione presenta, nell’intervallo chiuso

h(x) f(x) g(x). x h(x)

1   1

, il minimo e il massimo assoluti? Si illustri il ragionamento seguito.

x

2