Matematica (corso ordinario) - Traccia

Pag. 1/2 Sessione ordinaria 2011

Seconda prova scritta

Ministero dell’Istruzione dell’Università e della Ricerca

M557 – ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

CORSO DI ORDINAMENTO

SCIENTIFICO

Indirizzo:

MATEMATICA

Tema di:

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1 x

Si considerino le funzioni e definite, per tutti gli reali, da:

f g 3

f (x) = x – 4x e g (x) = sen πx

1. Fissato un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy , si studino f e g e se ne disegnino i

e G .

rispettivi grafici G

f g −

2. Si calcolino le ascisse dei punti di intersezione di G con la retta y = 3. Successivamente, si

f

considerino i punti di G a tangente orizzontale la cui ascissa è compresa nell’intervallo [− 6; 6] e se

g

ne indichino le coordinate.

3. Sia R la regione del piano delimitata da G e G sull’intervallo [0; 2]. Si calcoli l’area di R.

f g

4. La regione R rappresenta la superficie libera dell’acqua contenuta in una vasca. In ogni punto di R a

distanza x dall’asse y la misura della profondità dell’acqua nella vasca è data da h(x) = 3 – x. Quale

integrale definito dà il volume dell’acqua? Supposte le misure in metri, quanti litri di acqua

contiene la vasca?

PROBLEMA 2

Sia f la funzione definita sull’insieme dei numeri reali da

R x

− 3

e + 3

f (x) = (ax + b)

dove a e b sono due reali che si chiede di determinare sapendo che f ammette un massimo nel punto

d’ascissa 4 e che f (0) = 2.

= = −

a 1 b 1

1. Si provi che e . x

− 3

e + 3 e se ne tracci il grafico Г nel sistema di

2. Si studi su la funzione f (x) = (x – 1)

R

riferimento Oxy.

3. Si calcoli l’area della regione di piano del primo quadrante delimitata da Г, dall’asse y e dalla retta

y = 3.

4. Il profitto di una azienda, in milioni di euro, è stato rappresentato nella tabella sottostante

designando con x l’anno di osservazione e con y il corrispondente profitto.

i i

Anno 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

x 0 1 2 3 4 5 6

i

y 1,97 3,02 3,49 3,71 3,80 3,76 3,65

i

Si cerca una funzione che spieghi il fenomeno dell’andamento del profitto giudicando accettabile

+

una funzione g definita su se per ciascun x oggetto dell’osservazione si ha: |g(x ) – y | ≤ 10 . Si

-1

R i, , i i

verifichi, con l’aiuto di una calcolatrice, che è accettabile la funzione f del punto 2 e si dica,

giustificando la risposta, se è vero che, in tal caso, l’evoluzione del fenomeno non potrà portare a

profitti inferiori ai 3 milioni di euro.