Matematica - Scientifico Tradizionale - Traccia

Pag. 1/2 Sessione ordinaria 2010

Seconda prova scritta

Ministero dell’Istruzione dell’Università e della Ricerca

M557 – ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

CORSO DI ORDINAMENTO

SCIENTIFICO

Indirizzo:

MATEMATICA

Tema di:

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1 γ

Sia un quadrato di lato 1, un punto di e la circonferenza di centro e raggio

ABCD P AB P λ

Si prenda sul lato un punto in modo che sia il centro di una circonferenza

AP. BC Q γ.

passante per e tangente esternamente a

C −

1 x

λ

1. Se si provi che il raggio di in funzione di è dato da = .

AP = x, x f(x) +

1 x

2. Riferito il piano ad un sistema di coordinate si tracci, indipendentemente dalle

Oxy,

limitazioni poste ad dal problema geometrico, il grafico di La funzione è

x f(x). f(x)

invertibile? Se sì, quale è il grafico della sua inversa?

−

1 x ∈

, quale è l’equazione della retta tangente al grafico di nel

3. Sia = x R; g(x)

g(x) +

1 x

punto (0, 1)? E nel punto (1, 0)? Cosa si può dire della tangente al grafico di

R S g(x)

nel punto ?

S

4. Si calcoli l’area del triangolo mistilineo ove l’arco appartiene al grafico di

ROS, RS f(x)

o, indifferentemente, di g(x).

PROBLEMA 2 x

Nel piano, riferito a coordinate cartesiane si consideri la funzione definita da

Oxy, f f(x) = b

(b 0, ≠ 1).

> b il grafico di relativo ad un assegnato valore di Si illustri come varia al

1. Sia f(x) b. G

G

b b

variare di b.

2. Sia un punto di . La tangente a in e la parallela per all’asse intersecano

P G G P P y

b b

l’asse rispettivamente in e in B. Si dimostri che, qualsiasi sia il segmento ha

x A P, AB

lunghezza costante. Per quali valori di la lunghezza di è uguale a 1?

b AB

3. Sia la retta passante per tangente a (e = numero di Quale è la misura in

r O G Nepero).

e

radianti dell’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse?

r

4. Si calcoli l’area della regione del primo quadrante delimitata dall’asse da e dalla retta

y, G

e

d’equazione y = e.