Aerotecnica - Soluzione

1) Decollo

I dati forniscono: = 2,2

C

L ,max,ip

= 0.017+0,058=0,075

C

D

0,dec

λ = 7,0

e ):

Calcoliamo la velocità di stallo in configurazione di decollo. Si calcola l’assetto (C

L

1 ρ

= ⇒ ⋅ =

2

L Q V S C Q

0

z L

2 , max,

S dec dec

Risulta: 2 4130

= ⋅ = 56 . 7 /

V m s

0 1 . 167 2 . 2

,

S dec

Schematizzeremo il decollo come successione delle seguenti 4 fasi:

Rullaggio da Vi = 0 a V = V × 1.2 (velocità di rotazione)

= V

1. R S,dec

Fase transitoria della durata di Δt = 2.5 [s] per avere il distacco del velivolo dal suolo

2. TR

Richiamata per portare l’aeroplano su traiettoria rettilinea di salita all’angolo di rampa β

3. MAX

Salita ripida fino all’altezza convenzionale di 15 [m] sopra la pista

4.

Fase di rullaggio in decollo

Imponiamo l’equilibrio dinamico verticale ed orizzontale:

= − =

⎧ ( )

R Q L R reazione del suolo

⎪ S S

⎨ Q

μ

− − ⋅ − ⋅ = =

0 ( )

T D R a a accelerazi

one

⎪ S

⎩ g

Ricaviamo l’accelerazione “a” in fase di rullaggio

[ ]

( )

g μ

= ⋅ − − ⋅ − (

1

)

a T D Q L

Q

dove: ⎛ ⎞

2

1 1 c

⎜ ⎟

ρ ρ

= ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅

,

2 2

L dec

D S c V S c V

⎜ ⎟

π λ

, 0 0 , 0

⋅

z D rull z D dec

2 2 ⎝ ⎠

e

1 ρ

= ⋅ ⋅ 2

L S c V

, 0

z L rull

2 2 di 7

ottimale in decollo:

Si impone il C

L ,rull 1 1

π λ μ π

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

7 0 . 025 0 . 275

c L e

2 2

, .

ott rull dec 2

0 . 275

= + =

0 . 075 0 . 0784

c π ⋅

D 7 . 0

.

rull dec

Ipotizzando costante la spinta massima, la (1) si esprime:

( )

⎡ ⎤

1

g μ ρ μ

= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ 2 ( 2

)

a T Q S c c V

⎢ ⎥

0

z D L

2 ⎦

⎣ . , .

Q rull dec ott rull dec

⎡ ⎤

9

.

81 1 ( )

= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ 2

60000 0

.

025 202500 1

.

167 49

.

0 0

.

0784 0

.

025 0

.

275

a V

⎢ ⎥

0

202500 2 ⎦

⎣ −

= − × ⋅

5 2

2

.

66 9

.

91 10 (

3

)

a V

0

Ipotizzando che i propulsori siano 2, la velocità di rotazione sarà data da:

= × = × = /

1 . 20 56

. 7 1 . 20 68

. 0 m s

V V ,

R S dec come uniformemente accelerato, con accelerazione media:

Approssimiamo il moto da V = 0 a V = V R

+ +

2

. 66 2

. 20

a a

= = == 2

2

. 43 /

0 R

a m s

, . .

m rull dec 2 2

Quindi spazio e tempo di rullaggio sono dati dalle seguenti equazioni:

⎧ ⎧

V 68

. 0

Δ = R Δ = =

t

⎧ 28

. 0 ( )

1 ⎪ t s t

⎪

= ⋅ Δ + ⋅ ⋅ Δ 2 1

⎪ ⎪ ⎪

a 2

. 43

s V t a t ⇒ ⇒

m

R i m

⎨ ⎨

⎨

2 2 2

1 68

. 0

1

⎪⎩ ⎪ ⎪

V

= + ⋅ Δ = ⋅ =

= ⋅ 951 ( )

V V a t R

s s m s

⎪

⎪ 1

R i m ⎩

R R 2 2

. 43

2

⎩ a

m

Fase transitoria

Ipotizzando che nella fase transitoria la velocità rimanga costante, si ha:

Δ =

⎧ 2 . 5 ( )

t s t 2

⎪

⎨

⎪ = ⋅ Δ = × =

68 . 0 2 . 5 170 ( )

⎩ s V t m s 2

TR R

Richiamata

Per calcolare il raggio di richiamata, scriviamo l’equazione di equilibrio nell’istante iniziale:

2 2

1

Q V Q V

ρ

= + ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = + ⋅

2

R R

L Q S c V Q

, max

z L R

2

g r g r

dec 3 di 7

da cui si ricava: 2 2

1

. 20 68

. 0

V

= × = =

, 1071

S dec ( )

r m

− − ⋅

2 2

1

. 20 1 1

. 20 1 9

. 81

g :

La richiamata deve portare l’aeroplano all’angolo di rampa massimo β

MAX

− 1

T Q E T

β max

= = −

d d

dec

max Q Q E max dec

:

dove π λ π 7

= ⋅ = ⋅ = 8 . 56

e

E max 4 4 0 . 075

c

dec D

0

. dec

60 . 0 1

β = − = = °

0 . 179 10 . 3

rad

max 202 . 5 8 . 56

Calcoliamo l’altezza sulla pista raggiunta a fine richiamata:

β

= ⋅ − = ⋅ − ° =

(

1 cos ) 1071 (

1 cos 10

. 3 ) 17

. 1

h r m

max

r

Essendo tale altezza maggiore di 15 nel calcolo dello spazio convenzionale di decollo, lo spazio da considerare

m,

dovrà essere riferito all’angolo β: − ⎞

⎛ 15

r

β β

= ⋅ − ⇒ = = °

⎜ ⎟

15 (

1 cos ) arccos 9 . 60

r ⎝ ⎠

r

con: β

= ⋅ = ⋅ ° =

sin 1071 sin 9 . 60 179 ( )

s r m s

3

rich

Il tempo impiegato nella fase di richiamata può essere calcolato assimilando il moto ad un moto circolare uniforme:

β π

⋅ ×

×

1071 9 . 60 180

r

Δ = = = 2 . 6 ( )

t s t 3

68

. 0

V

R

Possiamo infine calcolare i totali:

= + + = + + =

951 170 179 1300

s s s s m

1 2 3

decollo = + + = + + =

28

. 0 2 . 5 2 . 6 33

. 1

t t t t s

1 2 3

decollo 4 di 7

1) Atterraggio

I dati forniscono: = 2,6

C

L ,max, att

= 0.017+0,075=0,092

C

D

0,att il numero di giri ottimale

Naturalmente in atterraggio la spinta da considerare sarà quella minima. Se indichiamo con n

0

di un turbogetto e con n ed n i regimi massimo e minimo, in genere risulta:

max min 3

.

5

⎛ ⎞

( )

n T n n

⎜ ⎟

≤ ≤ ⇒ =

0 . 80 1 . 20 ⎜ ⎟

( ⎝ ⎠

n T n n

0 0 ) 0

/ n =1.20 (atterraggio) e che n / n =0.80 (decollo), si ha:

Quindi assumendo che n max 0 min 0

3

.

5 3

.

5

⎛ ⎞ ⎞

⎛ 0 . 80

n

⎜ ⎟

= × = × =

⎜ ⎟

60000 14515

MIN

T T N

⎜ ⎟

MIN MAX 1 . 20

⎝ ⎠

⎝ ⎠

n

MAX

In base ai Regolamenti dell’Aviazione Civile in atterraggio deve aversi:

≥ ⋅ 1 . 3 ( ' 15 )

V V velocità sull ostacolo di m

ost S att

≥ ⋅ 1 . 2 ( )

V V velocità al contatto col suolo

c S att

Risulta: = × = × =

0.70 202500 0.70 141750

Q Q N

att decollo

Quindi la velocità di stallo in configurazione di atterraggio è:

2 1 2 141750 1

Q

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 43 . 7 /

att m s

V ρ 1 . 167 49 . 0 2 . 6

, S C

S att z L

max, att

con: = ⋅ =

1 . 3 56 . 8 /

V V m s

ost S att

≥ ⋅ =

1 . 2 52 . 4 /

V V m s

c S att

Considerando che l’angolo di discesa β in atterraggio (dai 15 m al contatto col suolo) è molto piccolo (4°÷5°), lo spazio

di questa fase si può calcolare con il teorema delle forze vive:

lavoro = ΔEc + ΔEg

dove “lavoro” è il lavoro fatto dalle forze esterne applicate al velivolo (Q, L, T, D) e ΔEc e ΔEg sono rispettivamente le

variazioni di energia cinetica e potenziale gravitazionale. 5 di 7

Si ha: ( )

1

( ) Q

− ⋅ ≅ − − − ⋅

2 2

V V Q h

T D s avv ost C

2 g

da cui si ricava: ( )

1 Q − + ⋅

2 2

V V Q h

ost C

2 g

=

s ( )

− ⋅

avv D T

Calcoliamo la resistenza D: 2 2

⎛ ⎞

2 141750 2 1 . 66

≅ ⇒ = ⋅ ⋅ = ⇒ = + =

⎜ ⎟ 1 . 66 0 . 092 0 . 217

L Q C C π

+ ⋅

L D

1 . 167 49 . 0 56 . 8 52 . 4 7 . 0

⎝ ⎠

avv avv

1 . 66 Q

= = ⇒ ≅ =

7 . 65 18529

E D N

0 . 217 E

avv avv avv

quindi: ( )

⎡ ⎤

− ⋅

2 2 2

1.3 1.2 43.7

⎛ ⎞

141750 ⎢ ⎥

= × + =

15 1389

⎜ ⎟

s m

− ×

avv 18529 14515 2 9.81

⎝ ⎠ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

×

1389 2

s

= = = 25.4

avv

t s

+

avv 56.8 52.4

V

media

Ai fini del calcolo dello spazio di frenata possiamo utilizzare ancora l’equazione (1) (rullaggio in decollo):

= 1.3

C

L ,rull, att = 0.092+1.3²/(π 7.0) = 0.169

C

D ,att

RULL 9.81 ( )

⎡ ⎤

= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − × × 2

14515 0.6 141750 0.5 1.167 49.0 0.169 0.6 1.3

a V

⎣ ⎦

141750 −

= − + × ×

3 2

4.88 1.21 10

a V

Quindi le decelerazioni iniziale e finale valgono:

−

= − + × × = −

3 2 2

4 . 88 1 . 21 10 52 . 4 1 . 56 /

a m s

i = − 2

4 . 88 /

a m s

f

In questo caso la forte variazione della decelerazione richiederebbe di effettuare un’integrazione più fitta di quanto fatto

nel decollo e ciò richiederebbe molto più tempo di quello disponibile. 6 di 7