Matematica (14535)

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Seconda prova scritta

M557 – ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

CORSO DI ORDINAMENTO

SCIENTIFICO

Indirizzo:

MATEMATICA

Tema di:

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 dei 10 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1 π

ˆ =

Il triangolo rettangolo ABC ha l’ipotenusa AB = a e l’angolo .

C A

B 3

a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l’arco di circonferenza di

estremi P e Q rispettivamente su AB e su BC. Sia poi R l’intersezione con il cateto CA

dell’arco di circonferenza di centro A e raggio AP. Si specifichino le limitazioni da imporre ad

x affinché la costruzione sia realizzabile.

b) Si esprima in funzione di x l’area S del quadrilatero mistilineo PQCR e si trovi quale sia il valore

minimo e quale il valore massimo di S(x).

c) Tra i rettangoli con un lato su AB e i vertici del lato opposto su ciascuno dei due cateti si

determini quello di area massima.

d) Il triangolo ABC è la base di un solido W. Si calcoli il volume di W sapendo che le sue sezioni,

ottenute tagliandolo con piani perpendicolari ad AB, sono tutti quadrati.

PROBLEMA 2

Assegnato nel piano il semicerchio Г di centro C e diametro AB = 2 , si affrontino le seguenti

questioni: tangente ad AB in C e di

a) Si disegni nello stesso semipiano di Г un secondo semicerchio Г 1

uguale raggio 1. Si calcoli l’area dell’insieme piano intersezione dei due semicerchi Г e Г 1

b) Si trovi il rettangolo di area massima inscritto in Г.

c) Sia P un punto della semicirconferenza di Γ, H la sua proiezione ortogonale su AB. Si

ˆ =

P

C

B x

ponga e si esprimano in funzione di x le aree S e S dei triangoli APH e PCH.

1 2

S ( x )

= 1

f ( x )

Si calcoli il rapporto S ( x )

2

d) Si studi f(x) e se ne disegni il grafico prescindendo dai limiti geometrici del problema.