Matematica PNI - Soluzione problema 1

Derivata seconda:

x x

−

f x e e

''( ) = + che non si annulla mai.

Concavità e convessità:

x x

−

f x e e x R

''( ) 0

= + > ∀ ∈ e quindi la funzione volge sempre la concavità verso l’alto.

figura 1.

Il grafico è dunque quello già disegnato in 1 1 f

Per ricavare il grafico della funzione dal grafico della (x ), basta osservare (o ricor-

h x

( ) = =

f x

( ) x x

−

e e

+

dare) quanto segue: +

x→+∞ f(x ;

se per la ) tende a +∞, allora 1/f(x) tende rispettivamente a 0

≠

x, f f(x)

qualunque sia la (x ) e la 1/f(x) hanno segno concorde (per 0)

f x f x

se è 0 ( ) 1, allora 1 / ( ) 1;

< < >

f x f x

se è ( ) 1, allora 0 1 / ( ) 1;

> < <

f x f x

se è ( ) 1, allora 1 / ( ) 1

= = ( )

f(x f(x m x y

dove la ) è crescente, la 1/f(x) è decrescente dove la ) ha minimo relativo , la

,

⇒ 0 0

⎛ ⎞

1 ⎟

⎜

M x , .

1/f(x) ha massimo relativo ⎟

⎜ ⎟

⎜ 0 y

⎝ ⎠

0 ( )

f(x f(x M x y

dove la ) è decrescente, la 1/f(x) è crescente dove la ) ha massimo relativo la

,

⇒ 0 0

⎛ ⎞

1 ⎟

⎜

m x , .

1/f(x) ha minimo relativo ⎟

⎜ ⎟

⎜ 0 y

⎝ ⎠

0 ⎛ ⎞

1

1 1 ⎟

⎜

M 0,

è dunque pari, sempre positiva, ha massimo relativo in ed ha per asintoto

La h x

( ) = = ⎟

⎜ ⎟

⎜ 2

⎝ ⎠

f x

( ) x x

−

e e

+ 1 figura 2.

l’asse delle ascisse; i grafici di sono riportati in (sotto)

f x h x

( ) e ( ) = f x

( ) y y = f ( )

x

2

1

2 y = h( ) = 1/f ( )

x x x

O

Punto 3 x

e

1 1 ( )

∫ ∫ ∫ x

x

dx dx d e e c

arctan , dove abbiamo risolto facilmente l’integrale per-

= = = +

f x

( ) x

2 2

e 1

+ ( )

x

e 1

+

ché riconducibile ad integrale immediato e quindi:

t x

e π

t

⎡ ⎤

∫ x t t

0

dx e e e e

arctan arctan arctan arctan −

= = − =

⎣ ⎦ 4

x

2

e 1 0

+

0

Quindi: