Matematica C3 Algebra 1 - 6a edizione (ebook)

3

MATEMATICA C

ALGEBRA 1

Testo per il primo anno

della Scuola Secondaria di grado

II

Matematicamente.it

a

6 Edizione - 2015

3

Matematica C – Algebra 1

Copyright © 2015 Matematicamente.it

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C P Antonio Bernardo, Anna Cristina Mocchetti, Claudio Carboncini.

OORDINATORI DEL ROGETTO

A Claudio Carboncini, Antonio Bernardo, Erasmo Modica, Anna Cristina Mocchetti, Germa-

UTORI

no Pettarin, Francesco Daddi, Angela D’Amato, Nicola Chiriano, Daniele Masini.

H C Laura Todisco, Daniele Zambelli, Michela Todeschi, Nicola De Rosa, Pao-

ANNO OLLABORATO

lo Baggiani, Luca Tedesco, Vittorio Patriarca, Francesco Speciale, Alessandro Paolino, Luciano Sarra,

Maria Rosaria Agrello, Alberto Giuseppe Brudaglio, Lucia Rapella, Francesca Lorenzoni, Sara Gobbato,

Mauro Paladini, Anna Maria Cavallo, Elena Stante, Giuseppe Pipino, Silvia Monatti, Andrea Celia, Gem-

ma Fiorito, Dorotea Jacona, Simone Rea, Nicoletta Passera, Pierluigi Cunti, Francesco Camia, Anna Ri-

ta Lorenzo, Alessandro Castelli, Piero Sbardellati, Luca Frangella, Raffaele Santoro, Alessandra Marrata,

Mario Bochicchio, Angela Iaciofano, Luca Pieressa, Giovanni Quagnano.

P I L TEX Dimitrios Vrettos.

A

ROGETTAZIONE E MPLEMENTAZIONE IN

C Claudio Carboncini, Daniele Masini, Silvia Cibola, Tiziana Manca.

OLLABORATORI

C , Se vuoi contribuire anche tu alla stesura e aggiorna-

OLLABORAZIONE COMMENTI E SUGGERIMENTI

3

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Versione del documento: del 5 settembre 2015.

6.0

Sesta edizione: settembre 2015.

ISBN 9788896354803

D ’

ATI TECNICI PER L ADOZIONE DEL LIBRO A SCUOLA

3

Titolo: Matematica C , Algebra 1 - sesta edizione.

Codice ISBN: 9788896354803

Editore: Matematicamente.it.

Anno di edizione: 2015.

e

Prezzo: 0,00.

Formato: ebook ( ).

PDF Indice

Prefazione xiii

I Numeri 1

1 Numeri naturali 3

1.1 L’origine dei numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Il sistema di numerazione decimale posizionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 I numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Rappresentazione geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Operazioni con i numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Addizione e moltiplicazione di numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.2 Sottrazione e divisione di numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Proprietà delle operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.1 Proprietà commutativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.2 Proprietà associativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.3 Elemento neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.4 Proprietà distributiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.1 Proprietà delle potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6.2 Cenni sull’estrazione di radice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7 Numeri Primi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8 Criteri di divisibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.9 Scomposizione in fattori primi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9.1 Numeri primi e crittografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.10 Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo . . . . . . . . . . . . . . 18

1.11 Espressioni numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.11.1 Regole per semplificare le espressioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.12 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.12.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.12.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.12.3 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Numeri interi relativi 31

2.1 I numeri che precedono lo zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 I numeri relativi e la retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Confronto di numeri relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4 Le operazioni con i numeri relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.1 Addizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

iii

iv Indice

2.4.2 Sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.3 Somma algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.4 Moltiplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.5 Divisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.6 Potenza di un numero relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.7 Le proprietà delle operazioni nell’insieme dei numeri relativi . . . . . . 37

2.4.8 Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione . . . . 39

2.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5.3 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 Frazioni e numeri razionali 49

3.1 Premessa storica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3 Dalle frazioni ai numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4 La scrittura dei numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4.1 Numeri periodici particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.5 I numeri razionali e la retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.6 Confronto tra numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.7 Le operazioni con i numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.7.1 Addizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.7.2 Sottrazione di frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.7.3 Moltiplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.7.4 Operazione inversa e aritmetica dell’orologio . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.7.5 Divisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.8 Potenza di una frazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.8.1 Potenza con esponente uguale a zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.8.2 Potenza con esponente intero negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.9 Introduzione ai numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.10 Notazione scientifica e ordine di grandezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.10.1 Come trasformare un numero in notazione scientifica . . . . . . . . . . . 69

3.10.2 Ordine di grandezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.11 Problemi con le frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.11.1 Problemi diretti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.11.2 Problemi inversi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.12 Le percentuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.12.1 Problemi con le percentuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.12.2 Problemi con gli sconti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.13 Proporzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.13.1 Calcolo di un medio o un estremo incognito . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.13.2 Grandezze direttamente e inversamente proporzionali . . . . . . . . . . 78

3.14 Espressioni con le frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.15 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.15.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.15.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.15.3 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Indice v

4 Sistemi di numerazione 117

4.1 La scrittura in base 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.2 Scrittura di un numero in una base qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.2.1 Convertire un numero da una base diversa da 10 a base 10 . . . . . . . . 119

4.2.2 Convertire un numero da base 10 a una base diversa da 10 . . . . . . . . 119

4.3 Conversione da una base diversa da 10 a un’altra base diversa da 10 . . . . . . 121

4.3.1 Conversione tra base 4, base 8, base 16 e base 2 . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.4 Operazioni in base diversa da dieci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.4.1 Addizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.4.2 Sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.4.3 Moltiplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.4.4 Divisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.5.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

II Insiemi, Logica e Relazioni 133

5 Insiemi 135

5.1 Insiemi ed elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.2 Insieme vuoto, insieme universo, cardinalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.2.1 Cardinalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.3 Rappresentazione degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.3.1 Rappresentazione tabulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.3.2 Rappresentazione per proprietà caratteristica . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.3.3 Rappresentazione grafica (Diagramma di Eulero-Venn) . . . . . . . . . . 139

5.4 Sottoinsieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.5 Insieme delle parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.6 Insieme unione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.6.1 Proprietà dell’unione tra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.7 Insieme intersezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.7.1 Proprietà dell’intersezione tra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.7.2 Proprietà distributiva dell’intersezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.8 Insieme differenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.8.1 Proprietà della differenza tra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.9 Insieme complementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.10 Leggi di De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.11 Partizione di un insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.12 Prodotto cartesiano fra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.12.1 Proprietà del prodotto cartesiano tra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.12.2 Rappresentazione del prodotto cartesiano tra insiemi . . . . . . . . . . . 149

5.13 I diagrammi di Eulero-Venn come modello di un problema . . . . . . . . . . . . 152

5.14 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.14.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.14.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.14.3 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

vi Indice

6 Logica di base 175

6.1 Proposizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.2 Algebra delle proposizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.3 Predicati e quantificatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.4 L’implicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.4.1 I teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.4.2 La deduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6.4.3 La dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

6.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

6.5.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

7 Relazioni 189

7.1 Proposizioni e predicati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

7.2 Relazioni in un insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

7.2.1 Grafico di una relazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

7.2.2 Matrice o tabella di una relazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

7.2.3 Grafo di una relazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

7.3 Proprietà delle relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

7.3.1 Proprietà riflessiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

7.3.2 Proprietà antiriflessiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

7.3.3 Proprietà simmetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

7.3.4 Proprietà antisimmetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

7.3.5 Proprietà transitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

7.4 Relazioni di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

7.5 Relazioni di ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

7.6 Relazioni tra due insiemi diversi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

7.6.1 Caratteristiche della relazione tra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

7.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

7.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

7.7.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

8 Funzioni 213

8.1 Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

8.1.1 Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

8.2 Funzioni tra insiemi numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

8.2.1 Funzioni inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

8.3 Funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

8.4 La retta e gli insiemi numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

8.5 Il metodo delle coordinate cartesiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

8.5.1 Introduzione al sistema di riferimento cartesiano ortogonale . . . . . . . 220

8.5.2 Distanza tra due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

8.5.3 Punto medio di un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

8.6 Il grafico di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

8.6.1 Funzione di proporzionalità diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

8.6.2 La funzione costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

8.6.3 La funzione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Indice vii

8.6.4 La funzione di proporzionalità inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

8.6.5 La funzione di proporzionalità quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

8.6.6 Funzione lineare a tratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8.6.7 Funzione valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

8.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

8.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

III Calcolo Letterale 247

9 Espressioni letterali e valori numerici 249

9.1 Lettere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

9.1.1 Lettere per esprimere formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

9.1.2 Lettere per descrivere schemi di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

9.1.3 Lettere per esprimere proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250