Matematica PNI - Soluzione questionario

QUESTIONARIO SPERIMENTALE PNI

Quesito 1

Il problema della quadratura del cerchio consiste nella ricerca di un quadrato di area pari a quella del cer-

chio dato.

È un problema classico che si è dimostrato irrisolvibile per via elementare, cioè non è possibile, usando solo

r.

riga e compasso, ottenere la costruzione di un quadrato equivalente ad un cerchio di raggio L’area, otte-

nuta valutando le approssimazioni per difetto e per eccesso delle aree dei poligoni inscritti e circoscritti al

2

A r l r

= π = π

cerchio, è data da , da cui si ricava che il quadrato equivalente dovrebbe avere per lato

che è un numero trascendente perché tale è .

π

La dimostrazione dell'impossibilità di quadrare il cerchio (per via elementare) è una conseguenza del

π

fatto che è un numero trascendente. Quesito 2

S(x)

L’area di un generico rettangolo (se-

x e

1 ≤ ≤ ) di

zione del solido assegnato,

b x h x

base ed altezza è data

ln 3 ln

= =

dalla formula: 2

( ) ( )

S x b h x x x

( ) ln 3 ln 3ln

= ⋅ = ⋅ = .

V S

Il volume del solido è dato allora

e,

dall’integrale, tra 1 ed dell’area del

triangolo e quindi:

e e

∫ ∫

2 2

V x x dx x dx

( ) 3 ln 3 ln .

= =

1 1

Risolviamo intanto, per parti, l’integrale

∫ 2 x dx .

indefinito: ln

Si ha: 1

∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2 2

x dx x dx x x x x dx x x x dx

ln 1 ln ln 2 ln ln 2 1 ln

= ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ =

x

⎡ ⎤

1

∫

2 2 2

[ ]

x x x x x dx x x x x x x x x x x

ln 2 ln ln 2 ln ln 2 ln 2

= ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ − = − + ,

⎢ ⎥

x

⎢ ⎥

⎣ ⎦

pertanto: e e

⎡ ⎤

∫ 2 2 ( ) ( )

V x x dx x x x x x e e e e

( ) 3 ln 3 ln 2 ln 2 3 2 2 2 3 2 2,15 , che è un valore ap-

= = − + = − + − = −

⎣ ⎦ 1

1

prossimato per difetto a meno di 1 centesimo.

QUESITO 3

Ricordiamo intanto le seguenti definizioni: G

“si dice Gruppo ogni insieme non vuoto dotato di un’operazione interna, che indichiamo generi-

ƒ camente con il simbolo *, che gode delle seguenti proprietà:

( ) ( )

a b c a b c a b c G

1. è associativa, cioè * * * * , , ,

= ∀ ∈

G tale che

2. in esiste l’elemento neutro rispetto all’operazione *, cioè u G

∃ ∈

a u u a a a G

* * ,

= = ∀ ∈ ,

3. ogni elemento ammette il simmetrico rispetto all’operazione *, cioè ,

a G a G a G

'

∈ ∈ ∀ ∈

a a a a u

tale che .”

* ' '*

= =

a G

'

∃ ∈ O O

Si dice omotetia di centro (dove per possiamo considerare l’origine degli assi) e rapporto

ƒ JJJJG JJJG

P, P’

h OP h OP e

la trasformazione del piano che associa, ad ogni punto il punto tale che:

0 '

≠ = ⋅

O h

( , )

ω

si indica con . O h

Le equazioni dell’omotetia di centro e rapporto sono:

0

≠

⎧ x hx

' =

⎪

⎪

O h

( , ) :

ω ⎨

⎪ y hy

' =

⎪⎩

O ” è

Per verificare che l’insieme delle omotetie di centro con l’operazione di composizione (prodotto) “ D

un gruppo iniziamo con l’osservare che la composizione (prodotto) di omotetie è un’operazione interna; in-

fatti se: ⎧ ⎧

x hx x h x

' '

= =

⎪ ⎪

⎪ ⎪ 1

e

O h O h

( , ) : ( , ) :

ω ω

⎨ ⎨

1

⎪ ⎪

y hy y h y

' '

= =

⎪ ⎪

⎩ ⎩ 1

sono le equazioni di due omotetie si avrà: ( )

⎧ x h h x

' = ⋅

⎪

⎪ 1

O h O h

( , ) ( , ) :

ω ω

D ⎨

1 ⎪ ( )

y h h y

' = ⋅

⎪

⎩ 1

O h h

Che è ancora un’omotetia di centro e rapporto .

⋅ 1

Inoltre:

1. Proprietà associativa: ⎧ x h x

' =

⎪

⎪ 2 si avrà:

Considerata una terza omotetia O h

( , ) :

ω ⎨

2 ⎪ y h y

' =

⎪

⎩ 2

( ) ( )

O h O h O h O h O h O h

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

ω ω ω = ω ω ω

D D D D

1 2 1 2

Infatti: ( ( ) )

⎧ x h h h x

' = ⋅ ⋅

⎪

⎪ 1 2

( )

O h O h O h

( , ) ( , ) ( , ) :

ω ω ω

D D ⎨

1 2 ⎪ ( ( ) )

y h h h y

' = ⋅ ⋅

⎪

⎩ 1 2

e: ( ( ) )

⎧ x h h h x

' = ⋅ ⋅

⎪

⎪ 1 2

( )

O h O h O h

( , ) ( , ) ( , ) :

ω ω ω

D D ⎨

1 2 ⎪ ( ( ) )

y h h h y

' = ⋅ ⋅

⎪

⎩ 1 2 ( ) ( )

h h h h h h

e poiché il prodotto tra numeri reali gode della proprietà associativa, si ha: .

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

1 2 1 2

⎧ x x

' =

⎪

⎪ O

, omotetia di centro e rapporto 1

2. Esiste l’elemento neutro che è O

( ,1) :

ω ⎨

⎪ y y

' =

⎪

⎩

Infatti: O h O O O h O h

( , ) ( ,1) ( ,1) ( , ) ( , )

ω ω = ω ω = ω

D D

Poiché ( ) ( )

⎧ ⎧

x h x x h x

' 1 ' 1

= ⋅ = ⋅

⎧ ⎧

x hx x hx

' '

= =

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

e

O h O O O h

( , ) ( ,1) : ( ,1) ( , ) :

ω ω = ω ω =

D D

⎨ ⎨ ⎨ ⎨

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

( ) ( )

y h y y h y y h y y hy

' 1 ' ' 1 '

= ⋅ = = ⋅ =

⎪ ⎪

⎩ ⎩

⎪ ⎪

⎩ ⎩

O

3. Ogni omotetia di centro ha la simmetrica (inversa);

⎧ 1

⎪

⎪ x x

' =

⎪ 1

⎛ ⎞

1 h

⎪

⎟

⎜

O h

( , )

ω O

O

infatti presa l’omotetia esiste l’omotetia di centro e rapporto che funge da

, :

ω ⎨

⎟

⎜ ⎟

⎜ h

⎪

h

⎝ ⎠ 1

⎪ y y

' =

⎪

⎪ h

⎩

suo elemento simmetrico; seguendo il procedimento sopra considerato si ha infatti:

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1

⎟ ⎟

⎜ ⎜

O h O O O h O

( , ) , , ( , ) ( ,1)

ω ω = ω ω = ω .

D D

⎟ ⎟

⎜ ⎜

⎟ ⎟

⎜ ⎜

h h

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Il prodotto di omotetie è quindi un gruppo.

Quesito 4 2

x

( )

−μ

1 − 2 si dice funzione di distribuzione ( o di densità o di probabilità) normale o

La funzione f x e

( ) = 2 σ

2

σ π

legge di Gauss di una variabile continua.

funzione di densità di probabilità

Essa è una perché soddisfa le condizioni:

f x

(a) ( ) 0

>

+∞

∫ f x dx

(b) ,

( ) 1

=

−∞ X

e permette di calcolare la probabilità che una variabile aleatoria continua assuma valori in un determi-

nato intervallo: b

∫

( )

P a X b f x dx

( ) .

< < = a

, e e rappresentano rispettivamente la media (o valore medio), lo scarto quadratico

I parametri 2

μ σ σ X.

medio (o deviazione standard) e la varianza di una variabile casuale

2

( )

x −μ

1 −

f x e

( ) 2 sono:

Le più importanti proprietà della = ⋅ 2 σ

2

σ π 1

⎛ ⎞⎟

⎜ x

f ( ) = μ ± σ

f(x

La funzione ) raggiunge il massimo per , , ha punti di flesso per

x μ =

= μ

ƒ ⎟

⎟

⎜

⎝ ⎠

2

σ π

x

e tende asintoticamente all’asse per ; la retta di equazione è l’asse di simmetria

x x

→ ∞ = μ

della curva:

L’area della regione compresa tra la curva e l’asse delle ascisse vale 1;

ƒ μ

Se il parametro >0 si ha una traslazione della gaussiana nel verso positivo delle ascisse, mentre

ƒ μ μ

<0 si ha una traslazione nel verso opposto (ovviamente se =0 si ha una simmetria rispetto

se y).

l’asse

Il parametro determina una curva gaussiana più o meno allargata e precisamente più grande è il

σ

ƒ valore di e più “larga” è la curva e minori il suo massimo e la sua pendenza; più piccolo è il valore

σ

di , più grande è il massimo della funzione e più rapida è la pendenza.

σ

Quesito 5

Ricordiamo che in geometria Euclidea la dimostrazione del teorema

sulla somma degli angoli interni di un triangolo si ottiene tracciando

una parallela da un verice al lato opposto e quindi osservando che si

vengono a formare angoli alterni interni uguali; tale dimostrazione u-

r

una retta ed un

data

tilizza il V postulato di Euclide che afferma:

P non appartenente ad essa, esiste ed è unica la parallela alla

punto

r P.

condotta per

retta

Le Geometrie non Euclidee nascono a livello assiomatico dalla negazione del quinto postulato; la sua nega-

zione è legata ai concetti di unicità e di esistenza della retta parallela, quindi le possibili negazioni sono

due, una che nega l’unicità della parallela e l’altra che nega la sua esistenza.

Nascono così i primi modelli di geometria non euclidea quali per esempio la geometria iperbolica o la geo-

metria ellittica.

In particolare Felix Klein (1849-1925) classificò le geometrie in tre classi fondamentali:

Geometria euclidea:

è la geometria delle superfici a curvatura nulla (Euclide);

ƒ in essa vale l’esistenza e unicità della parallela;

ƒ uguale

la somma degli angoli interni di un triangolo è a un angolo piatto.

ƒ

Geometria ellittica (o sferica):

è la geometria delle superfici a curvatura positiva (Riemann);

ƒ in essa non esistono rette parallele;

ƒ maggiore

la somma degli angoli interni di un triangolo è di un angolo piatto

ƒ (triangolo riemanniano).

Geometria iperbolica:

è la geometria delle superfici a curvatura negativa (Lobačevskij );

ƒ ,

per un punto esterno ad una retta vi sono più parallele;

ƒ minore

la somma degli angoli interni di un triangolo è di un angolo piatto

ƒ (triangolo iperbolico).

Quesito 6 P

La probabilità richiesta possiamo calcolarla come rapporto tra l’area “favorevole” al punto e l’area “pos-

P

sibile”, dove per area "favorevole" a si intende la parte interna

al triangolo equilatero di lato uguale a 3 ed esterna ai tre settori

circolari di raggio uguale a 1 interni al triangolo (in tali settori

1 cadono infatti i punti che distano da un vertice meno di 1) e per

60° area "possibile" si intende l’area totale del triangolo equilatero.

S

Indicata con l’area di ciascun settore circolare interno al

A

triangolo, con l’area del triangolo equilatero (area “possibile”)

e quindi con l’area “favorevole” si ha:

R A S

3

= −

1 1 1 1

2

S r S

3 3 ;

= π = π ⇒ = ⋅ π = π

6 6 6 2

1 1 2

l 9 , da cui:

A 3 3

= =

60° 60° 4 4