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QUESTIONARIO SPERIMENTALE PNI
Quesito 1
Il problema della quadratura del cerchio consiste nella ricerca di un quadrato di area pari a quella del cer-
chio dato.
È un problema classico che si è dimostrato irrisolvibile per via elementare, cioè non è possibile, usando solo
r.
riga e compasso, ottenere la costruzione di un quadrato equivalente ad un cerchio di raggio L’area, otte-
nuta valutando le approssimazioni per difetto e per eccesso delle aree dei poligoni inscritti e circoscritti al
2
A r l r
= π = π
cerchio, è data da , da cui si ricava che il quadrato equivalente dovrebbe avere per lato
che è un numero trascendente perché tale è .
π
La dimostrazione dell'impossibilità di quadrare il cerchio (per via elementare) è una conseguenza del
π
fatto che è un numero trascendente. Quesito 2
S(x)
L’area di un generico rettangolo (se-
x e
1 ≤ ≤ ) di
zione del solido assegnato,
b x h x
base ed altezza è data
ln 3 ln
= =
dalla formula: 2
( ) ( )
S x b h x x x
( ) ln 3 ln 3ln
= ⋅ = ⋅ = .
V S
Il volume del solido è dato allora
e,
dall’integrale, tra 1 ed dell’area del
triangolo e quindi:
e e
∫ ∫
2 2
V x x dx x dx
( ) 3 ln 3 ln .
= =
1 1
Risolviamo intanto, per parti, l’integrale
∫ 2 x dx .
indefinito: ln
Si ha: 1
∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2 2
x dx x dx x x x x dx x x x dx
ln 1 ln ln 2 ln ln 2 1 ln
= ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ =
x
⎡ ⎤
1
∫
2 2 2
[ ]
x x x x x dx x x x x x x x x x x
ln 2 ln ln 2 ln ln 2 ln 2
= ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ − = − + ,
⎢ ⎥
x
⎢ ⎥
⎣ ⎦
pertanto: e e
⎡ ⎤
∫ 2 2 ( ) ( )
V x x dx x x x x x e e e e
( ) 3 ln 3 ln 2 ln 2 3 2 2 2 3 2 2,15 , che è un valore ap-
= = − + = − + − = −
⎣ ⎦ 1
1
prossimato per difetto a meno di 1 centesimo.
QUESITO 3
Ricordiamo intanto le seguenti definizioni: G
“si dice Gruppo ogni insieme non vuoto dotato di un’operazione interna, che indichiamo generi-
camente con il simbolo *, che gode delle seguenti proprietà:
( ) ( )
a b c a b c a b c G
1. è associativa, cioè * * * * , , ,
= ∀ ∈
G tale che
2. in esiste l’elemento neutro rispetto all’operazione *, cioè u G
∃ ∈
a u u a a a G
* * ,
= = ∀ ∈ ,
3. ogni elemento ammette il simmetrico rispetto all’operazione *, cioè ,
a G a G a G
'
∈ ∈ ∀ ∈
a a a a u
tale che .”
* ' '*
= =
a G
'
∃ ∈ O O
Si dice omotetia di centro (dove per possiamo considerare l’origine degli assi) e rapporto
JJJJG JJJG
P, P’
h OP h OP e
la trasformazione del piano che associa, ad ogni punto il punto tale che:
0 '
≠ = ⋅
O h
( , )
ω
si indica con . O h
Le equazioni dell’omotetia di centro e rapporto sono:
0
≠
⎧ x hx
' =
⎪
⎪
O h
( , ) :
ω ⎨
⎪ y hy
' =
⎪⎩
O ” è
Per verificare che l’insieme delle omotetie di centro con l’operazione di composizione (prodotto) “ D
un gruppo iniziamo con l’osservare che la composizione (prodotto) di omotetie è un’operazione interna; in-
fatti se: ⎧ ⎧
x hx x h x
' '
= =
⎪ ⎪
⎪ ⎪ 1
e
O h O h
( , ) : ( , ) :
ω ω
⎨ ⎨
1
⎪ ⎪
y hy y h y
' '
= =
⎪ ⎪
⎩ ⎩ 1
sono le equazioni di due omotetie si avrà: ( )
⎧ x h h x
' = ⋅
⎪
⎪ 1
O h O h
( , ) ( , ) :
ω ω
D ⎨
1 ⎪ ( )
y h h y
' = ⋅
⎪
⎩ 1
O h h
Che è ancora un’omotetia di centro e rapporto .
⋅ 1
Inoltre:
1. Proprietà associativa: ⎧ x h x
' =
⎪
⎪ 2 si avrà:
Considerata una terza omotetia O h
( , ) :
ω ⎨
2 ⎪ y h y
' =
⎪
⎩ 2
( ) ( )
O h O h O h O h O h O h
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
ω ω ω = ω ω ω
D D D D
1 2 1 2
Infatti: ( ( ) )
⎧ x h h h x
' = ⋅ ⋅
⎪
⎪ 1 2
( )
O h O h O h
( , ) ( , ) ( , ) :
ω ω ω
D D ⎨
1 2 ⎪ ( ( ) )
y h h h y
' = ⋅ ⋅
⎪
⎩ 1 2
e: ( ( ) )
⎧ x h h h x
' = ⋅ ⋅
⎪
⎪ 1 2
( )
O h O h O h
( , ) ( , ) ( , ) :
ω ω ω
D D ⎨
1 2 ⎪ ( ( ) )
y h h h y
' = ⋅ ⋅
⎪
⎩ 1 2 ( ) ( )
h h h h h h
e poiché il prodotto tra numeri reali gode della proprietà associativa, si ha: .
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
1 2 1 2
⎧ x x
' =
⎪
⎪ O
, omotetia di centro e rapporto 1
2. Esiste l’elemento neutro che è O
( ,1) :
ω ⎨
⎪ y y
' =
⎪
⎩
Infatti: O h O O O h O h
( , ) ( ,1) ( ,1) ( , ) ( , )
ω ω = ω ω = ω
D D
Poiché ( ) ( )
⎧ ⎧
x h x x h x
' 1 ' 1
= ⋅ = ⋅
⎧ ⎧
x hx x hx
' '
= =
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
e
O h O O O h
( , ) ( ,1) : ( ,1) ( , ) :
ω ω = ω ω =
D D
⎨ ⎨ ⎨ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
( ) ( )
y h y y h y y h y y hy
' 1 ' ' 1 '
= ⋅ = = ⋅ =
⎪ ⎪
⎩ ⎩
⎪ ⎪
⎩ ⎩
O
3. Ogni omotetia di centro ha la simmetrica (inversa);
⎧ 1
⎪
⎪ x x
' =
⎪ 1
⎛ ⎞
1 h
⎪
⎟
⎜
O h
( , )
ω O
O
infatti presa l’omotetia esiste l’omotetia di centro e rapporto che funge da
, :
ω ⎨
⎟
⎜ ⎟
⎜ h
⎪
h
⎝ ⎠ 1
⎪ y y
' =
⎪
⎪ h
⎩
suo elemento simmetrico; seguendo il procedimento sopra considerato si ha infatti:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 1
⎟ ⎟
⎜ ⎜
O h O O O h O
( , ) , , ( , ) ( ,1)
ω ω = ω ω = ω .
D D
⎟ ⎟
⎜ ⎜
⎟ ⎟
⎜ ⎜
h h
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Il prodotto di omotetie è quindi un gruppo.
Quesito 4 2
x
( )
−μ
1 − 2 si dice funzione di distribuzione ( o di densità o di probabilità) normale o
La funzione f x e
( ) = 2 σ
2
σ π
legge di Gauss di una variabile continua.
funzione di densità di probabilità
Essa è una perché soddisfa le condizioni:
f x
(a) ( ) 0
>
+∞
∫ f x dx
(b) ,
( ) 1
=
−∞ X
e permette di calcolare la probabilità che una variabile aleatoria continua assuma valori in un determi-
nato intervallo: b
∫
( )
P a X b f x dx
( ) .
< < = a
, e e rappresentano rispettivamente la media (o valore medio), lo scarto quadratico
I parametri 2
μ σ σ X.
medio (o deviazione standard) e la varianza di una variabile casuale
2
( )
x −μ
1 −
f x e
( ) 2 sono:
Le più importanti proprietà della = ⋅ 2 σ
2
σ π 1
⎛ ⎞⎟
⎜ x
f ( ) = μ ± σ
f(x
La funzione ) raggiunge il massimo per , , ha punti di flesso per
x μ =
= μ
⎟
⎟
⎜
⎝ ⎠
2
σ π
x
e tende asintoticamente all’asse per ; la retta di equazione è l’asse di simmetria
x x
→ ∞ = μ
della curva:
L’area della regione compresa tra la curva e l’asse delle ascisse vale 1;
μ
Se il parametro >0 si ha una traslazione della gaussiana nel verso positivo delle ascisse, mentre
μ μ
<0 si ha una traslazione nel verso opposto (ovviamente se =0 si ha una simmetria rispetto
se y).
l’asse
Il parametro determina una curva gaussiana più o meno allargata e precisamente più grande è il
σ
valore di e più “larga” è la curva e minori il suo massimo e la sua pendenza; più piccolo è il valore
σ
di , più grande è il massimo della funzione e più rapida è la pendenza.
σ
Quesito 5
Ricordiamo che in geometria Euclidea la dimostrazione del teorema
sulla somma degli angoli interni di un triangolo si ottiene tracciando
una parallela da un verice al lato opposto e quindi osservando che si
vengono a formare angoli alterni interni uguali; tale dimostrazione u-
r
una retta ed un
data
tilizza il V postulato di Euclide che afferma:
P non appartenente ad essa, esiste ed è unica la parallela alla
punto
r P.
condotta per
retta
Le Geometrie non Euclidee nascono a livello assiomatico dalla negazione del quinto postulato; la sua nega-
zione è legata ai concetti di unicità e di esistenza della retta parallela, quindi le possibili negazioni sono
due, una che nega l’unicità della parallela e l’altra che nega la sua esistenza.
Nascono così i primi modelli di geometria non euclidea quali per esempio la geometria iperbolica o la geo-
metria ellittica.
In particolare Felix Klein (1849-1925) classificò le geometrie in tre classi fondamentali:
Geometria euclidea:
è la geometria delle superfici a curvatura nulla (Euclide);
in essa vale l’esistenza e unicità della parallela;
uguale
la somma degli angoli interni di un triangolo è a un angolo piatto.
Geometria ellittica (o sferica):
è la geometria delle superfici a curvatura positiva (Riemann);
in essa non esistono rette parallele;
maggiore
la somma degli angoli interni di un triangolo è di un angolo piatto
(triangolo riemanniano).
Geometria iperbolica:
è la geometria delle superfici a curvatura negativa (Lobačevskij );
,
per un punto esterno ad una retta vi sono più parallele;
minore
la somma degli angoli interni di un triangolo è di un angolo piatto
(triangolo iperbolico).
Quesito 6 P
La probabilità richiesta possiamo calcolarla come rapporto tra l’area “favorevole” al punto e l’area “pos-
P
sibile”, dove per area "favorevole" a si intende la parte interna
al triangolo equilatero di lato uguale a 3 ed esterna ai tre settori
circolari di raggio uguale a 1 interni al triangolo (in tali settori
1 cadono infatti i punti che distano da un vertice meno di 1) e per
60° area "possibile" si intende l’area totale del triangolo equilatero.
S
Indicata con l’area di ciascun settore circolare interno al
A
triangolo, con l’area del triangolo equilatero (area “possibile”)
e quindi con l’area “favorevole” si ha:
R A S
3
= −
1 1 1 1
2
S r S
3 3 ;
= π = π ⇒ = ⋅ π = π
6 6 6 2
1 1 2
l 9 , da cui:
A 3 3
= =
60° 60° 4 4