Problema 1 λ λ
− ≤ ≤
x le dimensioni dell’aiuola, con le limitazioni , la funzione
a) indicate con x e con 0 x
2 2
che ne esprime l’area è: λ λ
⎛ ⎞
= ⋅ − = −
⎜ ⎟ 2 .
A
( x ) x x x x
⎝ ⎠
2 2 λ
= −
A
' ( x
) 2
x
Per la ricerca del massimo si studia il segno della derivata prima .
2
Si ha: λ λ
0 /4 /2 x
λ
= .
Si ha la massima area per x 4
Poiché la funzione rappresentativa è un polinomio di secondo grado il massimo relativo è anche massimo assoluto.
Allo stesso risultato si poteva giungere in modo diretto considerando che si tratta di un problema simmetrico e che il valore estremo si ha nel centro della simmetria. È noto infatti che fra tutti i rettangoli di dato perimetro il quadrato è quello di area massima.
λ −
b) Indicate rispettivamente con x e con le due parti in cui è suddiviso il filo, con le limitazioni
x
≤ ≤ λ , le aree dell’aiuola circolare e dell’aiuola quadrata sono, rispettivamente:
0 x λ − 2 2
x x
( )
= =
e
A x A x
( )
( ) π
C Q
4 16
λ − x x , rispettivamente raggio e lato del quadrato. La somma delle aree è:
essendo ed
π
2 4
λ − λ −
2
2
x x
( ) x x
= + = −
e risulta
S x
( ) S ' ( x )
π π
16 4 8 2
S ' ( x ) si ha:
Dallo studio del segno di ( )
π + λ
λ / x
0 4 4
λ
4
=
x e, poiché la funzione S (x ) è un polinomio di 2°
Pertanto il minimo di S (x ) si ha per π + 4
grado, tale valore è anche minimo assoluto.
c) L’eventuale massimo di S (x ) , per la natura di tale funzione, può essere solo in corrispondenza degli estremi dell’intervallo.
λ λ
2 2
= λ = =
Si ha S e S . Il massimo richiesto si ha in un estremo, cioè per , quando
( 0
) ( ) 0
x
π
4 16
cioè tutto il filo viene utilizzato per l’aiuola circolare. = ⋅ ⋅ .
Indicate a, b, c le dimensioni di un parallelepipedo rettangolo, il suo volume è V a b c
( )
= ⋅ ⋅ =
3
Aumentando del 10% ogni dimensione il volume risulta V 1
,
1 a b c 1
,
331
V . L’aumento è
1
dunque del 33,1%.
Problema 2
1.
La condizione di tangenza tra le due funzioni impone che sia:
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
