Matematica - Soluzione

c) L’eventuale massimo di S (x ) , per la natura di tale funzione, può essere solo in corrispondenza

degli estremi dell’intervallo.

λ λ

2 2

= λ = =

Si ha S e S . Il massimo richiesto si ha in un estremo, cioè per , quando

( 0

) ( ) 0

x

π

4 16

cioè tutto il filo viene utilizzato per l’aiuola circolare. = ⋅ ⋅ .

Indicate a, b, c le dimensioni di un parallelepipedo rettangolo, il suo volume è V a b c

( )

= ⋅ ⋅ =

3

Aumentando del 10% ogni dimensione il volume risulta V 1

,

1 a b c 1

,

331

V . L’aumento è

1

dunque del 33,1%.

PROBLEMA 2

1. La condizione di tangenza tra le due funzioni impone che sia:

⎧ 1 ⎧

⎧ =

= =

2 a

log x ax x e

⎪

⎪

⎪ ⎪

2

x

2

⇒ ⇒

⎨

⎨ ⎨

1 1

= =

1

⎪

⎪ ⎪

2 ax a

=

⎩ ⎩

x

log

⎪

x 2 e

⎩ 2

=

x e l’ascissa del punto di tangenza.

Essendo = 2

log x ax

Le soluzioni dell’equazione sono le ascisse dei punto di intersezione delle due

funzioni = 2

log x ax

Per a < 0 l’equazione ha sempre una ed una sola soluzione.

=

Per la g(x) è l’asse x e quindi una sola soluzione.

0

a 1

< ≤

0 a si hanno due soluzioni.

Per 2 2

⎤

⎡

( )

2 3 [ ]

x 10

∫ − − = −

= − = 2

2 ⎥

⎢

Area ABCD x x dx x x x 2 log 2

2. ( ) log log 1

⎦

⎣ 3

3

1 1

1 1

= = − 2

3. Scelto, ad esempio si ottiene definita per x > 0.

a h ( x ) log x x

2 2

Dai risultati acquisiti al punto 1, la h (x ) è ovunque negativa.

2

x log x

Poiché è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a si ha:

= −∞

lim h ( x ) ;

+

→

x 0 2

x log x

e poiché è un infinito di ordine superiore rispetto a si ha:

= −∞

lim h ( x ) ;

→ +∞

x ⎛ ⎞

1

1 1 −

= − = − − ⎜ ⎟

1

; e

Le derivate h ' ( x ) x e h ' ' ( x ) 1 evidenziano un punto di massimo in ⎝ ⎠

2 2

x x

l’assenza di flessi poiché è ovunque negativa.

h ' ' ( x )

QUESTIONARIO

1. La somma S dei chicchi di grano è data dalla somma dei primi 64 termini di una progressione

63

∑

= = −

k 64

geometrica di primo termine1, di ragione q = 2. Risulta pertanto . Trattandosi

S 2 2 1

= 0

k

di un problema concreto procediamo con criteri di approssimazione. Intanto possiamo assumere

≅ =

64 10 3

. Sapendo che può essere approssimato con , si ha:

S 2 2 1024 10

⋅ ⋅

3 54

10 2

= ⋅ ≅ ⋅ = ⋅

64 10 54 3 54 54

. Il peso totale in grammi è

2 2 2 10 2 38 38 2 . Per avere il peso in

3

10

≅

6 20

tonnellate si deve dividere questo numero per . Si ha pertanto che il grano richiesto

10 2

⋅ 54

38 2 = ⋅ 34

pesa circa 38 2 tonnellate. Anche ricorrendo al calcolo logaritmico si possono

20

2

calcolare le approssimazioni richieste.

2. La superficie di un poliedro regolare è costituita da poligoni regolari tutti dello stesso tipo e in

ogni vertice di ciascun angolo solido concorre lo stesso numero di poligoni. È dunque

necessario che la somma degli angoli che concorrono in vertice sia minore di 360°. Si hanno

così i seguenti casi possibili.

a. nel vertice dell’angolo solido concorrono tre triangoli equilateri (somma 180°) si ha il

(quattro facce)

tetraedro

b. nel vertice dell’angolo solido concorrono quattro triangoli equilateri (somma 240°) si ha il

(otto facce)

l’ ottaedro

c. nel vertice dell’angolo solido concorrono cinque triangoli equilateri (somma 300°) si ha

(venti facce). Sei triangoli danno 360° e non formano angolo solido.

l’ icosaedro o

d. nel vertice dell’angolo solido concorrono tre quadrati (somma 270°) si ha l’ esaedro cubo

(sei facce). Quattro quadrati danno 360° e non formano angolo solido

e. nel vertice dell’angolo solido concorrono tre pentagoni (somma 324°) si ha il dodecaedro

(dodici facce). Quattro pentagoni danno 432° e non formano angolo solido.

I cinque poliedri regolari sono anche detti solidi platonici.

− −

4 B’C’= y 8

3. Posto AB = x BC = y, si ha: A’B’= x

Si ha, con riferimento alla figura a lato,

z = area(ABCD) = xy 50

− − = +

4)(y 8)=50 da cui 8 che

e area(A’B’C’D’) = (x y − 4

x

sostituito in z dà: − −

⎛ ⎞ 2

25 x 8 x 9

= + =

⎜ ⎟

z 2 x z ' 8

da cui

4 ( )

− −

⎝ ⎠ 2

x 4 x 4

Studiando il segno della derivata prima si ha l’area minima

= =

richiesta per x 9 cm e y 18

cm

4. La diagonale d del cubo è data dal diametro della sfera. Pertanto lo spigolo del cubo è

3

1 3

d

λ = = = = =

3 3

V m

ed il suo volume . Poiché 1

m 1000

litri , la capacità del

3 9

3 3

serbatoio è circa 192,45 litri.

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

n n

n n

( ) ∑ ∑

−

+ = =

= =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

n n k k n

a b a b Ponendo nella formula si ottiene 2

5. Si ha 1

a b

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

k k

= =

0 0

k k

6. Il quesito conduce sistema misto parametrico:

−

⎧ 5 k 2

=

cos 2 x

⎪

⎪ k ° < < °

⎨ con 30 2 x 90

⎪ 3

< <

0 cos 2 x

⎪

⎩ 2

Pertanto il sistema ammette una soluzione per i valori di k che soddisfano il sistema:

−

⎧ 5 k 2 > 0

⎪

⎪ 2 4

k < <

⎨ cioè per k −

− 5

⎪ 10 3

5 k 2 3

<

⎪

⎩ k 2 = −

3 2

f ( x ) x 2 x

7. La funzione è un polinomio di 3° grado, ovunque continua e derivabile, pertanto

ξ

= −

2 richiesto

f ' ( x ) 3 x 2 x

le condizioni poste dal teorema sono verificate. Essendo , il valore

−

f b f a

( ) ( ) ξ ξ ξ

= − + =

2

è soluzione dell’equazione f ' ( ) ovvero 3 4 1 0 . Le soluzioni di tale

−

b a

1

ξ ξ

= =

e 1 . Per le condizioni poste dal teorema la seconda non è

equazione sono 1 2

3

accettabile.