Matematica (3632)

Pag. 1/2 Sessione ordinaria 2005

Seconda prova scritta

M557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

CORSO DI ORDINAMENTO

Tema di: MATEMATICA

Il candidato risolva uno dei due problemi e cinque quesiti scelti nel questionario.

PROBLEMA 1

Nel primo quadrante del sistema di riferimento Oxy, ortogonale e monometrico, si consideri la

λ = − 2

regione R, finita, delimitata dagli assi coordinati e dalla parabola d’equazione: .

y 6 x

1. Si calcoli il volume del solido generato dalla rotazione completa di R attorno all’asse y. =

y 6 .

2. Si calcoli il volume del solido generato dalla rotazione completa di R attorno alla retta

k y = k R.

3. Si determini il valore di per cui la retta dimezza l’area di

< < λ

0 t 6 A(t)

4. Per sia l’area del triangolo delimitato dagli assi e dalla tangente a nel suo

t. A(1)

punto di ascissa Si determini .

t A(t)

per il quale è minima.

5. Si determini il valore di

PROBLEMA 2 [ [

+∞

f

Si consideri la funzione definita sull’intervallo da:

0 ;

=

⎧ f ( 0 ) 1

⎪

⎨ 1

= − + >

2

f ( x ) x ( 3 2 log x ) 1 se x 0

⎪⎩ 2

e sia C la sua curva rappresentativa nel riferimento Oxy, ortogonale e monometrico.

f continua derivabile

1. Si stabilisca se è e in 0. [ [

+∞

f(x) = 0

2. Si dimostri che l’equazione ha, sull’intervallo , un’unica radice reale.

0 ; =

r tangente a C nel punto di ascissa .

3. Si disegni C e si determini l’equazione della retta x 1

n n A

4. Sia un intero naturale non nullo. Si esprima, in funzione di , l’area del dominio piano

n

1

= =

x 1

x

r

delimitato dalla curva C, dalla retta tangente e dalle due rette: e .

n

→ +∞

n A

5. Si calcoli il limite per di e si interpreti il risultato ottenuto.

n