Matematica (P.N.I.)

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO - 2003

CORSO SPERIMENTALE - P.N.I.

Tema di: MATEMATICA

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

Nel piano sono dati: il cerchio g di diametro OA = a, la retta t tangente a g in A, una retta r passante

per O, il punto B, ulteriore intersezione di r con g, il punto C intersezione di r con t. La parallela per

B a t e la perpendicolare per C a t s'intersecano in P. Al variare di r, P descrive il luogo geometrico

G noto con il nome di versiera di Agnesi [da Maria Gaetana Agnesi, matematica milanese, (1718-

1799)].

1. Si provi che valgono le seguenti proporzioni: OD : DB = OA : DP OC : DP = DP : BC ove

D è la proiezione ortogonale di B su OA;

2. Si verifichi che, con una opportuna scelta del sistema di coordinate cartesiane ortogonali e

monometriche Oxy, l'equazione cartesiana di

3. Si tracci il grafico di G e si provi che l'area compresa fra G e il suo asintoto è quattro volte

quella del cerchio y.

PROBLEMA 2

Sia

con a,b,c numeri reali. Si determinino a,b,c in modo che:

1. la funzione f sia pari;

2. f(0)=2;

3.

Si studi la funzione g ottenuta sostituendo ad a,b,c i valori così determinati e se ne disegni il grafico

G.

Si consideri la retta r di equazione y=4 e si determinino, approssimativamente, le ascisse dei punti

in cui essa interseca G, mettendo in atto un procedimento iterativo a scelta.

Si calcoli l'area della regione finita del piano racchiusa tra r e G.

Si calcoli

Si determini la funzione g' il cui grafico è simmetrico di G rispetto alla retta r.

QUESTIONARIO

1. Quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno)

nel campionato italiano a 18 squadre?

2. Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune

difettose. A contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il

20% difettose e C ne contiene 1000 con il 10% difettose. Si sceglie una scatola a caso e si

estrae a caso una lampada. Quale è la probabilità che essa sia difettosa?

3. Quale è la capacità massima, espressa in centilitri, di un cono di apotema 2 dm?

4. Dare un esempio di polinomio P(x) il cui grafico tagli la retta y=2 quattro volte.

5. Dimostrare, usando il teorema di Rolle [da Michel Rolle, matematico francese, (1652-

1719)], che se l'equazione:

ammette radici reali, allora fra due di esse giace almeno una radice dell'equazione:

6. Si vuole che l'equazione

abbia tre radici reali. Quale è un possibile valore di b?

7. Verificare l'uguaglianza:

e utilizzarla per calcolare un'approssimazione di , applicando un metodo di integrazione

numerica.

8. Dare un esempio di solido il cui volume è dato da

.

9. Di una funzione f(x) si sa che ha derivata seconda uguale a senx e che. Quanto vale

10. Verificare che l'equazione

ammette tre radici reali. Di una di esse, quella compresa tra 0 e 1, se ne calcoli

un'approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.