Matematica (3814)

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO - 2003

CORSO DI ORDINAMENTO

Tema di: MATEMATICA

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

PROBLEMA 1

Si consideri un tetraedro regolare T di vertici A, B, C, D.

a. Indicati rispettivamente con V ed S il volume e l'area totale di T e con r il raggio della sfera

inscritta in T, trovare una relazione che leghi V, S ed r.

b. Considerato il tetraedro regolare T' avente per vertici i centri delle facce di T, calcolare il

rapporto fra le lunghezze degli spigoli di T e T' e il rapporto fra i volumi di T e T'.

c. Condotto il piano a, contenente la retta AB e perpendicolare alla retta CD nel punto E, e

posto che uno spigolo di T sia lungo s, calcolare la distanza di E dalla retta AB.

d. Considerata nel piano a la parabola p avente l'asse perpendicolare alla retta AB e passante

per i punti A, B ed E, riferire questo piano ad un conveniente sistema di assi cartesiani

ortogonali e trovare l'equazione di p.

e. e) Determinare per quale valore di s la regione piana delimitata dalla parabola p e dalla retta

EA ha area

PROBLEMA 2

È assegnata la funzione

dove m è un parametro reale.

1. Determinare il suo dominio di derivabilità.

2. Calcolare per quale valore di m la funzione ammette una derivata che risulti nulla per x = 1.

Studiare la funzione f(x) corrispondente al valore di m così trovato e disegnarne il grafico g in un

piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), dopo aver stabilito quanti sono

esattamente i flessi di g ed aver fornito una spiegazione esauriente di ciò.

Calcolare l'area della regione finita di piano delimitata dal grafico g, dall'asse x e dalla retta di

equazione x = 1.

QUESTIONARIO

1. Dopo aver fornito la definizione di "rette sghembe", si consideri la seguente proposizione:

"Comunque si prendano nello spazio tre rette x, y, z, due a due distinte, se x ed y sono

sghembe e, così pure, se sono sghembe y e z allora anche x e z sono sghembe". Dire se è

vera o falsa e fornire un'esauriente spiegazione della risposta.

2. Un piano interseca tutti gli spigoli laterali di una piramide quadrangolare regolare:

descrivere le caratteristiche dei possibili quadrilateri sezione a seconda della posizione del

piano rispetto alla piramide.

3. Dal punto A, al quale è possibile accedere, è visibile il punto B, al quale però non si può

accedere in alcun modo, così da impedire una misura diretta della distanza AB. Dal punto A

si può però accedere al punto P, dal quale, oltre ad A, è visibile B in modo che, pur

rimanendo impossibile misurare direttamente la distanza PB, è tuttavia possibile misurare la

distanza AP. Disponendo degli strumenti di misura necessari e sapendo che P non è allineato

con A e B, spiegare come si può utilizzare il teorema dei seni per calcolare la distanza AB.

Il dominio della funzione

è l'insieme degli x reali tali che:

Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una esauriente spiegazione della scelta effettuata.

• La funzione

ha un solo zero reale, vale a dire che il suo grafico interseca una sola volta l'asse delle ascisse.

Fornire un'esauriente dimostrazione di questo fatto e stabilire se lo zero della funzione è positivo o

negativo.

• La derivata della funzione

è la funzione

. Eseguire tutti i passaggi necessari a giustificare l'affermazione.

• Considerati i primi n numeri naturali a partire da 1:

1, 2, 3, … , n-1, n ,

moltiplicarli combinandoli due a due in tutti i modi possibili. La somma dei prodotti ottenuti risulta

uguale a:

Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta operata.

• x ed y sono due numeri naturali dispari tali che x - y = 2. Il numero

A. è divisibile per 2 e per 3.

B. è divisibile per 2 ma non per 3.

C. è divisibile per 3 ma non per 2.

D. non è divisibile né per 2 né per 3.

Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta operata.