Matematica (3841)

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO - 2002

CORSO DI ORDINAMENTO

Tema di: MATEMATICA

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

PROBLEMA 1

In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnata la curva k di

equazione y = f(x), dove è:

a) Determinare per quali valori di x essa è situata nel semipiano y>0 e per quali nel semipiano y<0.

b) Trovare l'equazione della parabola passante per l'origine O degli assi e avente l'asse di simmetria

parallelo all'asse y, sapendo che essa incide ortogonalmente la curva k nel punto di ascissa -1 (N.B.:

si dice che una curva incide ortogonalmente un'altra in un punto se le rette tangenti alle due curve

in quel punto sono perpendicolari).

c) Stabilire se la retta tangente alla curva k nel punto di ascissa -1 ha in comune con k altri punti

oltre a quello di tangenza.

d) Determinare in quanti punti la curva k ha per tangente una retta parallela all'asse x.

e) Enunciare il teorema di Lagrange e dire se sono soddisfatte le condizioni perché esso si possa

applicare alla funzione f(x) assegnata, relativamente all'intervallo .

PROBLEMA 2

Si considerino le lunghezze seguenti:

[1] , , ,

dove a è una lunghezza nota non nulla ed x è una lunghezza incognita.

a) Determinare per quali valori di x le lunghezze [1] si possono considerare quelle dei lati di un

triangolo non degenere.

b) Stabilire se, fra i triangoli non degeneri i cui lati hanno le lunghezze [1], ne esiste uno di area

massima o minima.

c) Verificato che per le [1] rappresentano le lunghezze dei lati di un triangolo, descriverne la

costruzione geometrica con riga e compasso e stabilire se si tratta di un triangolo rettangolo,

acutangolo o ottusangolo.

d) Indicato con ABC il triangolo di cui al precedente punto c), in modo che BC sia il lato maggiore,

si conduca per A la retta perpendicolare al piano del triangolo e si prenda su di essa un punto D tale

che AD sia lungo a: calcolare un valore approssimato a meno di un grado (sessagesimale)

dell'ampiezza dell'angolo formato dai due piani DBC e ABC.

QUESTIONARIO

1. Il rapporto fra la base maggiore e la base minore di un trapezio isoscele è 4. Stabilire, fornendone

ampia spiegazione, se si può determinare il valore del rapporto tra i volumi dei solidi ottenuti

facendo ruotare il trapezio di un giro completo dapprima intorno alla base maggiore e poi intorno

alla base minore o se i dati a disposizione sono insufficienti.

2. Due tetraedri regolari hanno rispettivamente aree totali e e volumi e . Si sa che

. Calcolare il valore del rapporto

3. Considerati i numeri reali a, b, c, d - comunque scelti - se a>b e c>d allora:

A) a+d > b+c;

B) a-d > b-c;

C) ad > bc;

D)

Una sola alternativa è corretta: individuarla e motivare esaurientemente la risposta.

1. Si consideri la seguente proposizione: "La media aritmetica di due numeri reali positivi,

comunque scelti, è maggiore della loro media geometrica". Dire se è vera o falsa e motivare

esaurientemente la risposta.

2. Determinare, se esistono, i numeri a, b in modo che la seguente relazione:

sia un'identità.

3. Si consideri la funzione:

Stabilire se ammette massimo o minimo assoluti nell'intervallo .

4. Calcolare la derivata, rispetto ad x, della funzione f(x) tale che: