Matematica (3863)

a) Dimostrare che il quadrilatero DENM è la quarta parte del triangolo ABC.

b) Ammesso che l’area del quadrilatero DENM sia , dove a è una lunghezza

assegnata, e ammesso che l’angolo A C sia acuto e si abbia inoltre:

verificare che tale quadrilatero risulta essere un trapezio

rettangolo.

c) Dopo aver riferito il piano della figura, di cui al precedente punto b), ad un

conveniente sistema di assi cartesiani, trovare l’equazione della parabola, avente

l’asse perpendicolare alla retta BC e passante per i punti M, N, C.

d) Calcolare, infine, le aree delle regioni in cui tale parabola divide il triangolo ADC.

QUESTIONARIO. → →

1. Indicata con f(x) una funzione reale di variabile reale, si sa che f(x) l per x a,

essendo l ed a numeri reali. Dire se ciò è sufficiente per concludere che f(a) = l e

fornire un’esauriente spiegazione della risposta.

Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua nel campo reale, tale che

2. f(0)=2. Calcolare: ,

dove e è la base dei logaritmi naturali.

Si consideri il cubo di spigoli AA’, BB’, CC’, DD’, in cui due facce opposte sono i

3. quadrati ABCD e A’B’C’D’. Sia E il punto medio dello spigolo AB. I piani

ACC’A’ e D’DE dividono il cubo in quattro parti. Dimostrare che la parte più estesa

è il quintuplo di quella meno estesa.

4. Un tronco di piramide ha basi di aree B e b ed altezza h. Dimostrare, col metodo

preferito, che il suo volume V è espresso dalla seguente formula:

.

In ogni caso esplicitare ciò che si ammette ai fini della dimostrazione.

5. Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, derivabile in un intervallo [a,b] e tale

che, per ogni x di tale intervallo, risulti f ’(x) = 0. Dimostrare che f(x) è costante in

quell’intervallo.

6. Dimostrare che si ha:

dove n, k sono numeri naturali qualsiasi, con n > k > 0 .

7. Fra i triangoli inscritti in un semicerchio quello isoscele ha:

a) area massima e perimetro massimo;

b) area massima e perimetro minimo;

c) area minima e perimetro massimo;

d) area minima e perimetro minimo.

Una sola risposta è corretta: individuarla e darne un’esauriente spiegazione.