Matematica (P.N.I.) (3872)

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

CORSO SPERIMENTALE - P.N.I.

Tema di MATEMATICA

Il candidato scelga a suo piacimento due dei seguenti problemi e li risolva:

1.Sia f(x) una funzione reale di variabile reale tale che valgano le seguenti condizioni:

f (x ) > 0 , f '(x ) > 0 , f "(x ) = 0 ,

0 0 0

dove x0 è un particolare valore reale.

a) Spiegare perché tali condizioni non sono sufficienti a determinare l'andamento di f(x) in un

intorno di x0.

b) Trovare almeno tre funzioni polinomiali f(x), di grado superiore al 1°, aventi andamenti diversi

in x = 0, tali che:

0 f (0) = 1 , f '(0) = 1 , f "(0) = 0 .

c) Determinare, se possibile, tutte le rette tangenti ai grafici delle funzioni trovate e parallele alla

retta di equazione y = x + 1.

d) A completamento del problema dimostrare la formula che esprime la derivata, rispetto ad x, della

n , dove n è un intero qualsiasi non nullo.

funzione x

2. Nel piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnati i

punti: A(0, 2), B(1, 1), C(1, 0).

e) Trovare l'equazione della circonferenza g inscritta nel triangolo OAB.

f) Determinare le equazioni dell'affinità a che ha come punti uniti i punti O e C e trasforma il punto

B nel punto A.

g) Calcolare l'area del triangolo CAA', dove A' è il punto trasformato di A nell'affinità a.

h) Stabilire se l'affinità a ha altri punti uniti, oltre ad O e C, e trovare le sue rette unite.

i) Stabilire quali, fra le rette unite trovate, risultano tangenti o esterne a g.

3. Assegnata la funzione:

dove il logaritmo si intende in base e, il candidato: