Marx: dialettica e matematica, percorso

Il mio approfondimento nasce da un’analisi svolta dallo studioso di Marx Guglielmo

Carchedi, attualmente docente di Economia politica all’università di York (Toronto).

Ripercorrendo il suo percorso metterò a confronto il metodo di derivazione di Leibniz e

quello di Marx evidenziando come dai procedimenti matematici di quest’ultimo si evinca

la sua visione dialettica della realtà, e mostrando in modo limpido come questa sia le vera

Manoscritti Matematici.

originalità dei Inoltre la vicinanza temporale del Festival

dell’Economia di Trento 2015, appena concluso, e il grande spazio che questo ha dedicato

alla mobilità sociale ci riporta all’importanza di pensare l’economia e ai concetti di

equilibrio/disequilibrio (direttamente collegati allo studio di G.Carchedi) ed evidenziarne

le basi reali e temporali, alle quali Marx si dedica nell’elaborare il proprio metodo di

derivazione. Qui si annida il mio interesse, nel capire più a fondo il modo in cui Marx

intende la realtà e la visione che ha del mondo, nell’ importanza di avere una conoscenza

reale dei modelli sociali che si discostano da quello capitalista per poter avere una

Autosufficienza

maggiore consapevolezza di questo. John Maynard Keynes, nella sua opera

nazionale del 1933 scrisse:

« Il capitalismo non è intelligente, non è bello, non è giusto, non è virtuoso e non mantiene le

promesse. In breve, non ci piace e stiamo cominciando a disprezzarlo. Ma quando ci chiediamo

cosa mettere al suo posto, restiamo estremamente perplessi. »

Il rapporto perlopiù controverso tra Keynes e Marx è direttamente collegato anche alla

1

matematica, “serva e padrona di tutte le scienze” , funzionale non solo agli interessi

economici ma possedente un valore culturale in sé. Lo stesso Kant nella Critica della

Ragion Pura, opera del 1781, si rivolge alla matematica come una scienza universale e

basata su strutture a priori, perciò in realtà necessaria alla conoscenza. Per certi versi Marx

anticipa l’applicazione economica della derivazione che poi è diventata nota con l’opera

Teoria generale dell'occupazione, dell'interesse e della moneta

keynesiana del 1936. Il Marx

matematico è poco conosciuto, ma il suo interesse per le scienze è visibile già dalla sua

discussione di laurea, sulla filosofia naturale di Democrito ed Epicuro. Il tentativo di

fondare su solide basi la matematica è un obiettivo che lo accomuna a grandi matematici

del suo tempo come Cauchy e Weierstrass, nonostante non fosse aggiornato sui loro studi,

ed anche questo contribuisce a non renderlo un matematico di primaria grandezza.

“La scienza senza filosofia è arida, ma la filosofia senza la scienza è vuota”

A. Einstein

La prima menzione esplicita che attesta l’interesse di Marx per la matematica risale ad

una lettera dell’ 11 gennaio 1858, indirizzata ad Engels, in cui dichiara che, lavorando

La serva padrona

espressione di Boncinelli Edoardo in

1

all’elaborazione dei “principi dell’economia”, ha avvertito la necessità di riprendere e

approfondire la conoscenza dell’algebra. In realtà è soprattutto negli ultimi anni della sua

vita che Marx si occupa in maniera sistematica della matematica e in particolare del calcolo

differenziale. E’ indubbio, e ci è testimoniato anche dal carteggio con Engels, che

considerasse il calcolo differenziale utilizzabile negli studi economici, ma avesse seguito il

consiglio di Moore decidendo per il momento di rinunciarvi:

“Ho tentato in vari modi di analizzare le crisi calcolando questi su e giù come curve irregolari e ero dell’

opinione (e credo ancora che sarebbe possibile se il materiale fosse analizzato sufficientemente) che potrei

essere in grado di determinare matematicamente le leggi principali che regolano le crisi. Come ho detto,

Moore pensa che ciò non sia possibile oggigiorno e ho deciso di rinunciarvi per adesso” 2

Manoscritti Matematici,

E’ di centrale importanza ricordare che i insieme a molti altri,

furono utili a Marx nella vita per imparare e comprendere, senza la pretesa di avanzare

delle tesi, come invece fece nelle opere più note, e solo dopo la sua morte Engels li diede al

pubblico. Il manoscritto apparve per la prima volta, in traduzione russa, nel 1933 a Mosca

Marxismo e Scienza,

in una raccolta intitolata assieme ad un’analisi della matematica

sovietica Sofya Yanovskaya, ma la pubblicazione integrale dei Manoscritti Matematici non

avvenne che nel 1968, sempre sotto la direzione della Yanovskaya. L’analisi di quest’

opera era divenuta un’ossessione per matematici, storici e filosofi sovietici e nella misura

in cui questo promosse lo studio della storia della matematica, il suo effetto fu positivo. E’

opinione comune che la mancata applicazione del calcolo differenziale all’economia

politica da parte del filosofo abbia influenzato e ritardato lo sviluppo nei sistemi

economici di tipo Sovietico, ma la ragione della scomparsa dell’Unione Sovietica e delle

3

altre economie a pianificazione centralizzata va ritrovata altrove. In realtà, la questione

principale non è se e come avrebbe applicato il calcolo differenziale alle teorie economiche,

ma come il calcolo del metodo differenziale ci permetta di intuire la sua prospettica

dialettica della realtà. Ripercorrendo lo studio del matematico Carchedi, per iniziare è

opportuno considerare come Leibniz arrivò alla nozione di derivata. Supponiamo che

13

y =x . Partendo da dx = x -x e d = y -y e isolando x nella prima equazione otteniamo

1 1 0 y 1 0 1

x =dx+x ,

1 0

13 3

(1) y = x = (x +dx)

1 0

Sciogliamo il cubo del binomio

02

3 03 2 3

(x +dx) =x +3x dx+3x (dx) +(dx)

0 0

03

dato che y = x , sostituiamo nell’equazione precedente

0 02 2 3

(2) y = y +3x dx+3x (dx) +(dx)

1 0 0

portando a sinistra y troviamo

0

02 2 3

(3) y - y = dy = 3x dx+3x (dx) +(dx)

1 0 0

dividiamo entrambi i membri per dx

02 2

(4) dy/dx = 3x +3x dx+(dx)

0

A questo punto cancelliamo dx nella parte destra dato che dx è infinitamente piccolo.

Quindi, otteniamo:

02 2

(5) dy/dx=3x o più generalmente 3x

Testo tratto da una lettera che Marx scrisse ad Engels nel 1873

2 Ciò è affermato dal matematico Leon Smolinski

3

Marx evidenzia due problematiche in questo procedimento. In primo luogo, la derivata

02

3x appare già nell’equazione (1), ovvero prima della derivazione, prima che dx sia posto

uguale a zero. Per ottenere la derivata “i termini che sono ottenuti in aggiunta alla prima

2 02 4

derivata [3x dx+(dx) ] devono essere fatti sparire per ottenere il risultato corretto [3x ].”

0 4

Marx chiama questo procedimento il metodo “mistico” , definendo il rapporto dx/dy così

4

come affrontato da Leibniz: “figure d’ombra senza corpo” ,”venute al mondo con una sola

4

faccia”. Il risultato esatto si ottiene, secondo il filosofo, soltanto perché in seguito a questi

4

“giochi di prestigio” “si elimina soltanto un errore di calcolo”. In secondo luogo, se

Leibniz considera dx una quantità infinitamente piccola e non un numero ordinario, come

si giustifica l’uso delle regole dei numeri ordinari, ad esempio l’applicazione della

espansione binomiale? Da un punto di vista più ampio, Marx si interroga sulla condizione

teorica e ontologica delle quantità infinitamente piccole. Nell’affrontare il metodo di

derivazione di Leibniz, arriva ad elaborare il proprio. Data una funzione y=f(x) il

pensatore di Treviri lascia che x si incrementi fino a x . Sia x che y si incrementano di una

0 1

quantità finita Δx e Δy, in tal modo le regole dei numeri ordinari possono essere applicate.

Chiama il rapporto Δy/Δx=[f(x -f(x )]/(x -x ) la derivata provvisoria o preliminare. Poi fa

1) 0 1 0

decrescere x fino a x perciò x -x =0 e y -y =0. Il valore quindi è ridotto alla quantità

1 0, 1 0 1 0

minima. Questa è definita la derivata definitiva, dy/dx. Vediamo come Marx calcola la

3

derivata di y = x .

Se x aumenta fino a x , y aumenta fino a y . Dato che x -x = Δx e y -y =Δy

0 1 0 1 1 0 1 0

13 03

(1) Δy/Δx = (y -y )/(x -x ) = (x -x )/(x -x )

1 0 1 0 1 0

ricordando dall’algebra la differenza di cubi

13 03 12 02

(2) (x -x ) = (x -x )(x +x x +x )

1 0 1 0

sostituiamo (2) in (1) 12 02

(3) Δy/Δx = [(x -x )(x +x x +x )]/(x -x )

1 0 1 0 1 0

ottenendo la derivata provvisoria

12 02

(4) Δy/Δx = x +x x +x

1 0

al fine di ottenere la derivata definitiva, x decresce fino a x cosicché Δx=dx=0 e Δy=dy=

1 0

0. L’equazione (4) diventa

02 02 02 02

(5) dy/dx = x + x +x = 3x

La derivata definitiva quindi non è altro che la “derivata preliminare ridotta alla sua

4

assoluta minima quantità.” I due metodi analizzati conducono allo stesso risultato, ma

presentano delle differenze. Tra queste, la principale riguarda il metodo operativo. Nel

4

primo caso (la “forma positiva” ) è x +dx = x nel caso di Marx è x che aumenta fino a x ,

0 1, 0 1

4

i.e. x -x = Δx (la “forma negativa” ). Nella forma positiva la differenza è interpretata fin

1 0

dall’inizio come il suo opposto, ovvero come somma. Inoltre Marx inizia da quantità finite

dy/dx e la derivata è ottenuta dopo la derivazione, mentre nel metodo positivo la derivata

4

“non è per nulla ottenuta attraverso la differenziazione” . Da un punto di vista matematico

queste differenze possono apparire insignificanti, oltre al fatto che il metodo di Marx

mostra una limitata applicabilità “perché è spesso impossibile dividere [f(x -f(x )] per (x -

1) 0 1

4

x )” . D’altro canto si può sostenere il valore storico matematico del suo procedimento, in

0

quanto gli permette di capire che dy/dx non è un rapporto tra due zeri ma un simbolo che

indica come x e y siano prima aumentati e poi ridotti ai valori minimi. Δx diventa zero

0 0

Le affermazioni riportate tra virgolette sono tratte direttamente dai Manoscritti Matematici

4

solo come simbolo, come un simbolo rappresentante una quantità minima ma reale.

Lasciando da parte le considerazioni strettamente processuali, vediamo come qui siano

celati importanti aspetti della nozione di dialettica secondo Marx. Primo, una quantità x

può essere o x o x la nozione di una quantità infinitamente piccola, di un’ entità

0 1;

realizzata che non è né un numero né zero deve essere respinta come ‘metafisica’. Una

quantità realizzata non può essere allo stesso tempo zero e differente da zero. Marx prima

incrementa x fino a x (cioè di dx) e poi riduce x a x In questo modo x non sparisce ma

0 1 1 0. 1

è ridotto al limite minimo x Di conseguenza, dx non è allo stesso tempo zero e non zero

0.

ma è prima un numero reale e poi è posto uguale a zero. 5

Emerge una concezione di processo reale e temporale , sfuggendo alla nozione

4

“chimerica” di derivata. Inoltre nel metodo positivo x +dx è presente un’addizione fra

0

una variabile (dx) sommata ad una quantità costante (x ). Implicitamente x rimane lo

0 0

stesso per tutta la durata e conseguentemente il movimento e il cambiamento interessano

solo una limitata sezione della realtà. Il punto di partenza è una costante, a cui il

movimento è aggiunto come appendice. Qui si evidenzia una nozione di realtà statica

disturbata solo temporaneamente dal movimento, che è il risultato di forze esterne.

Appare evidente l’analogia nelle scienze sociali con l’equilibrio e il disequilibro come

deviazione temporanea dall’equilibro. Nel metodo di Marx invece il movimento da x a x

0 1

e a ritroso indica un cambiamento in tutta la realtà: si tratta di una nozione dinamica. Il

movimento non deriva dall’esterno, è possibile incrementare solo perché è intrinseco come

una delle sue potenzialità. Marx vede con gli occhi dello scienziato sociale, il suo

procedimento corrisponde ad un approccio dinamico e temporale in cui il movimento

riguarda il tutto ed è il risultato dell’interazione tra gli aspetti potenziali e quelli realizzati

Manoscritti Matematici,

della realtà. I quindi appaiono rilevanti agli scienziati sociali che

desiderano scoprire la sua nozione di dialettica come metodo di analisi sociale e strumento

di cambiamento sociale, in quanto lo studio di Marx della matematica come quello delle