Matematica (corso ordinario) - Traccia 2012

Pag. 1/2 Sessione ordinaria 2012

Seconda prova scritta

Ministero dell’Istruzione, dell’ Università e della Ricerca

M557 – ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

CORSO DI ORDINAMENTO

SCIENTIFICO

Indirizzo:

MATEMATICA

Tema di:

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

Siano e le funzioni definite, per tutti gli x reali, da

f g  

3

3

  

 

27

f ( x ) x e g(x) sen x

 

2

Qual è il periodo della funzione Si studino e e se ne disegnino i rispettivi grafici G e

1. g? f g f

in un conveniente sistema di riferimento cartesiano

G Oxy.

g

2. Si scrivano le equazioni delle rette e tangenti, rispettivamente, a G e a G nel punto di

r s f g

1



ascissa . Qual è l’ampiezza, in gradi e primi sessagesimali, dell’angolo acuto formato

x 3

da e da

r s?

3. Sia R la regione delimitata da G e da G . Si calcoli l’area di R.

f g

4. La regione R, ruotando attorno all’asse genera il solido S e, ruotando attorno all’asse il

x, y,

solido T. Si scrivano, spiegandone il perchè, ma senza calcolarli, gli integrali definiti che

forniscono i volumi di S e di T.

PROBLEMA 2

Nel primo quadrante del sistema di riferimento Oxy sono assegnati l’arco di circonferenza di

2   i cui estremi

centro O e estremi A(3, 0) e B(0, 3) e l’arco L della parabola d’equazione 9 6

x y

sono il punto A e il punto (0, 3/2).

1. Sia la retta tangente in A a L. Si calcoli l’area di ciascuna delle due parti in cui divide la

r r

regione R racchiusa tra L e l’arco AB.

2. La regione R è la base di un solido W le cui sezioni, ottenute tagliando W con piani

5 3 x



  , area . Si determini il

perpendicolari all’asse hanno, per ogni 0 3 S ( x ) e

x, x

volume di W.

3. Si calcoli il volume del solido ottenuto dalla rotazione di R intorno all’asse x.

4. Si provi che l’arco L è il luogo geometrico descritto dai

centri delle circonferenze tangenti internamente all’arco AB

e all’asse Infine, tra le circonferenze di cui L è il luogo

x.

dei centri si determini quella che risulta tangente anche

all’arco di circonferenza di centro A e raggio 3, come nella

figura a lato.