2009 - liceo scientifico - sessione suppletiva

Sessione suppletiva di ordinamento 2008 – 2009 Soluzione a cura di Nicola De Rosa

( )

α

⎡ ⎤

6 6 tan

− + 2

[ ] ⎢ ⎥

( )

( )

( ) ( )

2 2 2 α α

+ +

α α 2 2

+ + − +

2 1 tan 1 tan

CP PQ QC 6 cos 3 sin 2 2 ⎣ ⎦ =

= =

2 2 2

2 a

( ) ( ) ( ) ( )

α α α α

− + − +

2 2

2 tan 6 tan 8 tan 3 tan 4

= =

( ) ( )

( ) ( )

α α

+ +

2 2

2 1 tan 1 tan

2 2 2

+ + − +

2

CP PQ QC 3 4

x x

( )

( )

α = =

= si ha f x .

Per x tan +

2 2

2 x 1

a

Punto 2

Prescindendo dalla questione geometrica, si studi la funzione f(x) e se ne tracci il grafico γ.

− +

2 3 4

x x

( ) =

Studiamo la funzione f x +

2

x 1

Dominio: R − +

2 3 4

x x

( ) =

f x non interseca mai l’asse delle

Intersezione asse delle ascisse: la funzione +

2

x 1

ascisse in quanto il numeratore è un fattore sempre positivo;

= → =

x 0 y 4

Intersezione asse delle ordinate: − +

2

x x

3 4

( ) =

f x è positiva in tutto il dominio R

Positività: la funzione +

2

x 1

Asintoti verticali: non esistono visto il dominio della funzione

− +

2

x x

3 4

( ) =

= = y 1

f x

Asintoti orizzontale: lim lim 1 per cui è asintoto orizzontale destro e

+

2 1

x

→ ±∞ → ±∞

x x

sinistro;

Asintoti obliqui: non esistono in quanto esiste l’asintoto orizzontale e per funzioni razionali fratte la

presenta dell’asintoto orizzontale esclude la presenza di quello obliquo e viceversa;

( )

− −

2

x x

3 2 1

( ) =

Crescenza e decrescenza: per cui la funzione è strettamente crescente in

f x

' ( )

2

+

2

x 1

( ) ( ) ( )

− ∞ − ∪ + +∞ − +

,

1 2 1 2 , , strettamente decrescente in 1 2 ,

1 2 e si annulla in

⎛ ⎞

+

5 3 2

⎜ ⎟

= −

= + = − M 1 2 , è un massimo relativo e

x x

1 2 , 1 2 . Quindi ⎜ ⎟

2

⎝ ⎠

⎛ ⎞

−

5 3 2

⎜ ⎟

= +

m 1 2 , è un minimo relativo.

⎜ ⎟

2

⎝ ⎠

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( )

( ) ( )

+ − +

2

x x x

6 1 4 1 ( )

( ) − ∞ − ∪ − +

= − , 1 2 3 , 2 3

per cui in la funzione volge la

Flessi: f x

' ' ( )

3

+

2

x 1 ( ) ( )

− − ∪ + +∞

1

, 2 3 2 3 , verso il basso per cui

concavità verso l’alto e in

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ −

7 3 3 7 3 3

( ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= − = − = +

1

, 4 , 2 3 , , 2 3 ,

F F F sono flessi a tangente obliqua.

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

1 2 3

4 4

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Il grafico è sotto presentato:

Punto 3

Si dica per quale valore di α si hanno rispettivamente il massimo e il minimo del rapporto (1).

( ) π

7

( )

α α

= = − = − = = °

x tan 1 2 arctan 1 2 157

,

5 mentre

Il valore massimo lo si ha per da cui 8

( ) π

3

( )

α α

= = + = + = = °

x tan 1 2 da cui

il valore minimo lo si ha per arctan 1 2 67

,

5

8

Punto 4

Si determini l’area della superficie piana, finita, delimitata dall’asse delle ordinate, dalla

curva γ e dal suo asintoto.

− +

2 3 4

x x

( ) =

= =

La curva interseca il suo asintoto di equazione 1 nel punto ad ascissa .

f x y x 1

+

2 1

x

L’area da calcolare è in grigio nella figura seguente:

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Tale area vale:

⎡ ⎤ 1

1

1 −

− +

2 ⎡ ⎤

⎡ ⎤

3 4 3 3 3 3 2

x x x x

∫ ∫ ∫ =

= −

= − =

1

S dx dx dx

⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

⎢⎣ ⎥⎦ + +

+ + 2 2

2

2 2

1 1 1 1

x x x x

⎣ ⎦ 0

0

0 ( )

1 π π −

( )

⎡ ⎤

3 3 3 ln 2 3 2 ln 2

( ) = − =

= − +

2

3 arctan ln 1

x x

⎢ ⎥

2 4 2 4

⎣ ⎦ 0

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PROBLEMA 2

Sia data la funzione: ( )

− >

⎧ 2 ln per 0

x x x

( ) =

f x ⎨ =

0

, per 0

x

⎩

Punto 1

Questa funzione è continua nel punto di ascissa 0 ?

E’ derivabile in tale punto ? ( )

− >

⎧ 2 ln per 0

x x x

( ) =

Studiamo la continuità della funzione . Calcoliamo il limite per

f x ⎨ =

0

, per 0

x

⎩

+

→ 0 :

x ∞

ln x

( ) ⎯

⎯ ⎯ ⎯

→

− = − = − = − = De l' Hospital

lim 2 ln lim 2 lim ln 0 lim ln lim f.i.

x x x x x x x ∞

1

+ + + + +

→ → → → →

x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x

1

ln x

( ) x

− = − = − = =

lim 2 ln lim

x x lim lim x 0

1 1

+ + + +

→ → → →

x 0 x 0 x 0 x 0

− 2

x x

( )

− >

⎧ 2 ln per 0

x x x

( ) = =

Quindi la funzione è continua in .

f x x 0

⎨ =

0

, per 0

x

⎩ ( ) ( )

= −

>

Studiamo la derivabilità: la derivata prima della funzione per è per cui

f ' x 1 ln x

x 0 ( )

− >

⎧ x 2 ln x per x 0

[ ]

( ) ( ) ( ) =

= − = +∞ f x

lim f ' x lim 1 ln x da cui deduciamo che la funzione ⎨ =

0

, per x 0

+ + ⎩

→ →

x 0 x 0 =

non è derivabile in .

x 0

Punto 2

Si studi la funzione f(x) e se ne tracci il grafico γ, su un piano riferito ad un sistema di assi

cartesiani ortogonali (Oxy). ( )

− >

⎧ x 2 ln x per x 0

( ) ( ) ( )

= = −

f x ed in particolare

Studiamo la funzione definita

g x x 2 ln x

⎨ =

0

, per x 0

⎩

>

per .

x 0 >

Dominio: x 0 =

= 0

x

0

x

( ) ( )

= − = → →

Intersezione asse delle ascisse: ;

2 ln 0

g x x x − = = 2

2 ln 0

x x e =

Intersezione asse delle ordinate: la funzione è prolungabile per continuità in per cui

x 0

= → =

x 0 y 0 ;

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( ) ( )

= − > ⇒ < < 2

g x x 2 ln x 0 0 x e ;

Positività: la funzione ( )

− =

Asintoti verticali: non esistono in quanto lim x 2 ln x 0 come dimostrato al punto 1;

+

→

x 0

( ) = −∞ per cui non esistono asintoti orizzontali;

Asintoti orizzontale: lim g x

→ +∞

x ( )

g x ( )

= − = −∞

lim lim 2 ln ;

Asintoti obliqui: non esistono in quanto x

x

→ +∞ → +∞

x x

( ) ( )

= −

: per cui la funzione è strettamente crescente in ,

Crescenza e decrescenza g ' x 1 ln x 0

, e

( )

+∞ =

e si annulla in .

strettamente decrescente in e

, x e

1

( ) = − per cui in tutto il dominio la funzione volge la concavità verso il basso. Inoltre

:

Flessi ' '

g x x

1

( ) ( )

= − < =

' ' 0 per cui è un massimo relativo ed assoluto.

g e M e e

,

e

Il grafico è sotto presentato:

Punto 3 ( )

>

Si calcoli l’espressione, in funzione di , dell’integrale

t t 0 2

e

( ) ( )

∫

= −

2 ln

I t x x dx

t

2

e

( ) ( )

∫

= −

Calcoliamo l’integrale 2 ln integrando per parti. Si ha:

I t x x dx

t 2 2 2 2

x x x x x

( ) ( )

∫ ∫ ∫ ∫

− = − = − + = − + = −

2 2

2 ln 2 ln ln ln 5 2 ln

x x dx xdx x xdx x x dx x x x

2 2 2 4 4

2

e

2 ⎡ ⎤

e 2 4 2 4 2

x e t e t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫

= − = − = − − − = − −

2 ln 5 2 ln 5 4 5 2 ln 5 2 ln .

per cui I t x x dx x t t

⎢ ⎥

4 4 4 4 4

⎣ ⎦

t t

Punto 4

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Si faccia vedere che I(t) tende verso un limite finito quando t tende a 0. Cosa rappresenta

questo limite nel grafico precedente ? =

Allo stesso modo con cui si è dimostrato che la funzione è continua in , si dimostra che

x 0

⎤

⎡

2 4 2 4

t e t e

( ) ( ) ( )

− = =

= − −

lim 5 2 ln 0 per cui che rappresenta l’area

t I t t

lim lim 5 2 ln ⎥

⎢

4 4 4 4

+ + + ⎦

⎣

→ → →

t 0 t t

0 0

( )

− >

⎧ 2 ln per 0

x x x

( ) =

compresa tra la curva e l’asse delle ascisse, rappresentata in grigio

f x ⎨ =

0

, per 0

x

⎩

di seguito:

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QUESTIONARIO

Quesito 1

Una piramide, avente area di base B e altezza h, viene secata con un piano parallelo alla base.

Si calcoli a quale distanza dal vertice si deve condurre tale piano, affinché il prisma che ha per

basi la sezione di cui sopra e la sua proiezione ortogonale sul piano di base della piramide

abbia volume massimo.

Consideriamo la figura seguente: π

Proiettando ortogonalmente il poligono A'B'C'D' sul piano , si ottiene il prisma retto di base

A'B'C'D' e altezza AA'. Consideriamo le piramidi VABCD e VA’B’C’D'; il rapporto tra le aree

e delle basi è uguale al rapporto dei quadrati delle altezze VA e VA’, cioè

S S

ABCD A B C D

' ' ' ' 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

S VA VA'

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ≤ ≤

= =

ABCD da cui . Ponendo con si ha

S S VA' x 0 x h

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

A B C D ABCD

' ' ' '

S VA' VA

⎠ ⎠

⎝ ⎝

A B C D

' ' ' ' [ ]

B

( ) ( )

= − = ⋅ = −

2

AA' h x per cui il volume del prisma sarà AA' con

V x S x h x

'

PRISMA AìBìCìD 2

h

( ) ( )

= −

≤ ≤ 2

. Calcoliamo la derivata prima e seconda della funzione da

f x x h x

0 x h

massimizzare. Si ha

( ) = − 2

' 2 3

f x xh x

( ) = −

' ' 2 6

f x h x ⎛ ⎞

2 h

⎜ ⎟

0

,

da cui deduciamo che la funzione volume è strettamente crescente in , strettamente

3

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

2 h h h

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

decrescente in , concava verso l’alto in

, h 0

, e verso il basso in , h . Inoltre

3 3 3

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

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⎛ ⎞

2 h 2h

( ) = > = − < =

⎜ ⎟

f ' ' 0 2 h 0

, f ' ' h per cui il volume massimo lo si ha per x

2 0 e vale

3 3

⎝ ⎠ ⎤

⎡ 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

2 4 2 4

h B h h =

= −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ .

V h Bh

⎥

⎢

PRISMA 2

3 9 3 27

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

h ⎦

⎣

Quesito 2 + −

2

ln x x 1

Si calcoli il limite della funzione quando x tende a 1.

( )

− + −

2 2

x x sin x 1

0 per cui applicando il teorema di De L’Hospital si

Il limite si presenta nella forma indeterminata 0

2 ln x + 1 +

+ −

2

ln 1 0 1

x x x =

= =

ha lim 1 .

lim ( ) ( )

( ) − +

− + − −

− + −

2 2 x x x

2 1 2 sin 1 cos 1 2 1 0

sin 1

x x x

→ →

x 1 x 1 = −

Alternativamente utilizzando i limiti notevoli, effettuando prima la sostituzione si ha:

t x 1

=

1

( ) 2

+

⎡ ⎤

ln 1

t

⋅ +

2

t t

⎢ ⎥

( )

+ − + + +

+

2

2 2

x x t t

ln 1 1

ln 1 t t t

t

⎣ ⎦

= = = = =

lim lim lim lim lim 1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) +

+ +

− + − + + 2

2

2 2 2 2 1

t

x x x t t t

sin 1 1 sin 1

t t t

→ → → → →

⎡ ⎤

sin t

x t t t 0 t 0

1 0 0 ( )

+ + ⋅

2

1

t t t ⎢ ⎥

t

⎣ ⎦

=

1

Quesito 3

Si calcoli il volume del solido generato dalla rotazione attorno all’asse x della porzione di

x = =

= x 1

, x 3 .

piano limitata dalla curva , dall’asse x e dalle rette

y + 2

1 x

Il volume richiesto, utilizzando il teorema di Guldino è pari a

3 3 3

2 ⎛ ⎞

1

x

∫ ∫ ∫

π π π =

= = = −

2 ⎜⎝ ⎟

1

V y dx dx dx

+ +

2 2 ⎠

1 1

x x

1 1 1 ( )

π π π π

⎡ ⎤ − −

⎛ ⎞

⎛ ⎞ 12 3 12

[ ]

( )

π π

3 − − =

= − = − ⎜ ⎟

⎜ ⎟

arctan 3 1

x x ⎢ ⎥

1 3 4 12

⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎣ ⎦

Quesito 4

Dato un triangolo rettangolo inscritto in un semicerchio, se sui suoi cateti presi come diametri

ed esternamente si costruiscono due semicerchi, da questi e dal dato semicerchio sono

determinati due menischi, detti lunule d’Ippocrate. Si dimostri che la loro somma ha la stessa

area del triangolo.

Consideriamo la figura seguente:

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= = = , è

L’area del triangolo rettangolo ABC, posto AO OB OC r

( ) ( )

1 1

( ) = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =

S ABC AO OC sin A

Ô

C OB OC sin B

Ô

C

2 2

2 2 2 2

r r r r

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

α π α α α α

= ⋅ + ⋅ − = ⋅ + ⋅ = ⋅

2

sin sin sin sin r sin

2 2 2 2

+ =

= = 2 2 2

a b 4r

AC a , CB b con . L’area della lunula S2 la calcoliamo come differenza

Poniamo =

tra l’area della semicirconferenza di diametro e l’area S. L’area della semicirconferenza di

AC a

2

⎛ ⎞

a

π ⎜ ⎟ π 2

a

2

⎝ ⎠ =

=

diametro è mentre l’area S è data dalla differenza tra l’area del settore

AC a 2 8

circolare AOC e l’area del triangolo AOC, cioè

( ) π

2 2 2

1 1 r a r

[ ] [ ]

( ) ( )

α α α α

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − = − −

S AO OC A

Ô

C - AO OC sin A

Ô

C sin per cui S 2 sin .

2 2 8 2

2

Analogamente l’area della lunula S3 la calcoliamo come differenza tra l’area della

= e l’area S1. L’area della semicirconferenza di diametro

semicirconferenza di diametro BC b

2

⎛ ⎞

b

π ⎜ ⎟ π 2

b

2

⎝ ⎠ =

= è mentre l’area S1 è data dalla differenza tra l’area del settore circolare

BC b 2 8

BOC e l’area del triangolo BOC, cioè

( ) 2 2

1 1 r r

[ ] [ ]

( ) ( )

π α π α π α α

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − − − = − −

S CO OB B

Ô

C - CO OB sin B

Ô

C sin sin per cui

2 2 2 2

π 2 2

b r [ ]

( )

π α α

= − − −

S 3 sin . Quindi

8 2

π π

2 2 2 2

a r b r

[ ] [ ]

( ) ( )

α α π α α

+ = − − + − − − =

S 2 S 3 sin sin

8 2 8 2

( ) ( )

π π π

+ + −

2 2 2 2 2 2

a b r a b 4 r

( ) ( ) ( ) ( )

α α α

= − + = + = =

2 2 2

r sin r sin r sin S ABC c.v.d.

8

8 2 = 0

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Quesito 5

Si determini il luogo γ dei punti di intersezione delle due rette di equazioni:

λx – y – (λ + 2) = 0 ,

(1 – λ) x + y + 2 = 0,