2006 - liceo scientifico sperimentale, sessione straordinaria

Sessione Straordinaria PNI 2006 Soluzione di De Rosa Nicola

γ ha tre flessi allineati, determinare le ascisse dei punti in cui la retta

e) Dopo aver controllato che

γ

dei flessi interseca .

QUESTIONARIO

È assegnato un pentagono regolare di lato lungo L. Recidendo opportunamente, in esso, cinque

1.

triangoli congruenti, si ottiene un decagono regolare: calcolarne la lunghezza del lato. (

Si lascino

).

indicate le funzioni goniometriche degli angoli coinvolti

Una piramide quadrangolare regolare è tale che la sua altezza è il doppio dello spigolo di base.

2.

Calcolare il rapporto fra il volume del cubo inscritto nella piramide e il volume della piramide

stessa. →

Se le funzioni f(x) e g(x), entrambe tendenti a 0, quando , non soddisfano alle condizioni

x a

3. ( )

f x →

previste dal teorema di De L’Hôpital, non è possibile calcolare il limite di quando . È

x a

( )

g x

vero o è falso? Fornire un’esauriente spiegazione della risposta.

( ) → +∞

= −

Il limite della funzione , per :

4. x

f x x ln x − ∞

+ ∞

[A] è 0; [B] è un valore finito diverso da 0; [C] è ; [D] è .

Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della scelta operata.

−

x

( ) 1

e

= →

Il limite della funzione , per , è uguale ad 1. Si chiede di calcolarlo senza

f x

5. x 0

x

ricorrere alla regola di De L’Hôpital.

Si ricorda la seguente definizione: «Considerata una funzione reale di variabile reale f(x), definita

6.

in un intervallo I, ogni funzione F(x), derivabile in I e tale che F’(x)=f(x), si dice primitiva di f(x) in

I». Stabilire se la funzione: ≤ ≤

⎧

1 se 1 2

x

( ) = ⎨

f x ≤ ≤

⎩ 2 se 2 3

x

ammette primitiva nell’intervallo [1,3].

Giustificare, con considerazioni analitiche o mediante un’interpretazione grafica, che la seguente

7.

equazione: + + =

5 3

x x 1 0 [ ]

+ al quale appartiene

ammette una ed una sola soluzione reale. Trovare, quindi, l’intervallo z, z 1

tale soluzione, essendo z un numero intero. −

3

Descrivere un algoritmo idoneo a calcolare un valore approssimato, a meno di 10 , della

8.

soluzione reale della precedente equazione.

Si considerino le seguenti equazioni:

9. 2

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x’ = a x – (a – 1) y + 1, y’ = 2 a x + (a – 1) y +2,

dove a è un parametro reale.

Determinare i valori di a per cui le equazioni rappresentano: 1) un’affinità, 2) un’affinità

equivalente (si ricorda che un’affinità si dice equivalente se conserva le aree).

Una classe è formata da 28 alunni, di cui 16 femmine e 12 maschi. Fra le femmine ci sono due

10.

“Maria” e fra i maschi un solo “Antonio”. Si deve formare una delegazione formata da due

femmine e due maschi. Quanto vale la probabilità che la delegazione comprenda “Antonio” e

almeno una “Maria”? 3

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PROBLEMA 1

È dato il triangolo ABC in cui: ()

25

= = =

AB , AC 5 5 , tan  2

2

Determinare l’altezza del triangolo relativa al lato AB e tracciare la circonferenza k avente

centro in

C e tangente al lato AB.

Dopo aver riferito il piano della figura ad un conveniente sistema di assi cartesiani ortogonali,

in

modo, però, che uno degli assi di riferimento sia parallelo alla retta AB:

Punto a

scrivere l’equazione della circonferenza k;

Consideriamo la figura seguente:

Applichiamo la teoria trigonometrica al triangolo rettangolo ACH:

()

= ⋅ =

CH AH tan  2 AH

Ora essendo il triangolo ACH rettangolo per il teorema di Pitagora si ha:

2

CH

2 2 2 2 2

+ = → + = → = → = → =

AH CH AC CH 125 CH 100 CH 10 AH 5

4

Il sistema di riferimento più immediato e conveniente consiste nel prendere C come origine, per cui

= ha equazione

la circonferenza con centro nell’origine C e raggio CH 10

+ = =

2 2 2

: 100

k x y r 4

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Punto b

trovare le coordinate dei vertici del triangolo e del punto D in cui la circonferenza k interseca

il segmento BC;

Calcolo del punto D: lo ricaviamo dall’intersezione della retta CB con la circonferenza.

Calcoliamo la retta BC: essa passante per il centro (0,0) ha equazione

= ,

y mx

CH 10 20 4

= = = =

m 25 15 3

HB − 5

2

Quindi: ⎧ + =

2 2

x y 100

⎪ 16 25

→ + = → = → = → = ± → = ±

2 2 2 2

⎨

D : x x 100 x 100 x 36 x 6 y 8

4

= 9 9

⎪ y x

⎩ 3 ⎛ ⎞

( ) 15

=

= ⎜ ⎟

B ed A

,

10

. Inoltre nel sistema di riferimento scelto B ha coordinate

per cui si ha D 6

,

8 ⎝ ⎠

2

( )

= −

ha coordinate A 5

,

10

Punto c

determinare l’equazione della parabola p, avente l’asse perpendicolare alla retta AB, tangente

in D alla circonferenza k e passante per A;

= + +

2

Equazione della parabola: y ax bx c

( )

= − − + =

A 5

,

10

Il passaggio per impone: 25 a 5

b c 10

( )

= + + =

Il passaggio per impone:

D 6

,

8 36 a 6

b c 8 5

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( )

=

Il coefficiente angolare della tangente in alla parabola è :

D 6

,

8

( ) ( )

= = = + = +

I

m y x 6 2 ax b 12 a b

=

x 6

Ma tale tangente è certamente perpendicolare alla retta BC, per cui il suo coefficiente angolare sarà

1 3 3

= − = − + = −

per cui la condizione sulla tangenza impone .

m 12 a b

4 4 4

3

Bisogna allora risolvere il sistema di tre equazioni in tre incognite seguente:

⎧

⎪ − + =

25 a 5

b c 10

⎪ + + =

⎨

36 a 6

b c 8

⎪ 3

⎪ + = −

12 a b

⎩ 4

Dalle prime due equazioni, sottraendo una dall’altra, eliminiamo la dipendenza da c ottenendo

+ = −

11

a 11

b 2

E ricavando il parametro b dalla terza equazione si ha:

⎛ ⎞

3 33 25 25

= − → − − = − → − = → = −

+ − −

⎜ ⎟

11 11 12 2 11 132

a a a a a a

2 121

⎝ ⎠

4 4 4 484

da cui 3 300 3 63

= − − = − = −

b a

12 4 484 4 484

315 625 5150

= + − = − + =

c b a

10 5 25 10 484 484 484 25 63 5150

= − − +

2

y x x

Per cui l' equazione della parabola è : 484 484 484

Punto d

calcolare le aree delle due regioni in cui la parabola p divide il triangolo ABC;

Consideriamola figura sottostante: 6

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Iniziamo a calcolare il punto G di intersezione tra la parabola e la retta di equazione y=10: bisogna

risolvere l’equazione − ±

25 63 5150 63 187 62

→ = − =

− − + = → + − = → =

2 2

10 25 63 310 0 5

,

x x x x x x x

1 2

484 484 484 50 25

⎛ ⎞

62

= ⎜ ⎟

per cui ,

10

G ⎝ ⎠

25

Calcoliamo ora l’equazione della retta GD:

62

−

x

− ⎛ ⎞

y 10 25 62 25 251

25 = − +

= → = − −

⎜ ⎟

:

GD y x x

10

− ⎝ ⎠

62

8 10 44 25 44 22

−

6 25

Ora l’area = −

S A S

1 BGD 3

= −

S A S

2 ABC 1

Quindi: 7

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⋅

b h

=

A

BGD 2

15 62 251

= − =

b 2 25 50

= − =

10 8 2

h

⋅

b h 251

= =

A

Per cui BGD 2 50

⎡ ⎤

⎛ ⎞

⎛ ⎞

6 25 63 5150 25 251

∫ =

= − − + − − +

⎜ ⎟

⎜ ⎟

2

⎢ ⎥⎦

S x x x dx

3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ 484 484 484 44 22

62

25

⎡ ⎤ 6

⎛ ⎞ ⎡ ⎤

6 25 212 372 1 25

∫ − + − = − + − =

⎜⎝ ⎟⎠ 3 2

2

⎢⎣ ⎥⎦

x x dx x x x

106 372

⎢⎣ ⎥⎦

484 484 484 484 3 62

62 25

25 ⎤

⎡

1 238328 407464 23064 =

= − + − + − +

1800 3816 2232 ⎥⎦

⎢

⎣

484 1875 625 625

⎡ ⎤

1 745736 704

= − + =

216

⎢⎣ ⎥⎦

484 1875 1875

Da cui 251 704 17417

= − = − =

S A S

1 BGD 3 50 1875 3750

25 ⋅ 10

⋅

AB CH 17417 125 17417 108479

2

= − = − = − = − =

S A S S

2 ABC 1 1

2 2 3750 2 3750 1875

Punto e

trovare, infine, le coordinate dei punti comuni alla circonferenza k ed alla parabola p.

Il calcolo dei punti di intersezione lo si risolve attraverso il seguente sistema:

⎧ + =

2 2 100

x y

⎪

⎨ 25 63 5150

= − − +

2

⎪ y x x

⎩ 484 484 484

da cui 2

⎛ ⎞

25 63 5150

+ − − + − = →

⎜ ⎟

2 2 100 0

x x x

⎝ ⎠

484 484 484

→ + − − + = →

4 3 2

625 3150 19275 648900 3096900 0

x x x x − ±

( )

( ) 213 44 23

i

→ − + + = → = =

2 2

6 25 426 3441 0 6

,

x x x x x

1 2 , 3 25

( )

=

D 6

,

8 .

per cui l’unico punto di intersezione è 8

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PROBLEMA 2

Si considerino i polinomi di 5° grado, nella variabile x, con coefficienti reali, i cui grafici,

rappresentati in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono

⎛ ⎞

64

−

⎜ ⎟

2

,

simmetrici rispetto all’origine O ed hanno un massimo relativo nel punto ⎝ ⎠

15

Punto a

Trovare l’equazione y=f(x) dei grafici suddetti.

Un polinomio di 5° grado ha equazione:

( )

= = + + + + +

5 4 3 2

y g x ax bx cx dx ex f

Ora dire che la curva è simmetrica rispetto all' origine significa che

( )

( ) ( )

= − − → + + + + + = − − + − + − + →

5 4 3 2 5 4 3 2

g x g x ax bx cx dx ex f ax bx cx dx ex f

→ + + = → = + +

4 2 5 3

0

bx dx f y ax cx ex

⎛ ⎞

64 64 32

→ − − − = → + + = −

⎜ ⎟

Il passaggio per - 2, 32 8 2 4 16

a c e e c a

⎝ ⎠

15 15 15

⎛ ⎞

64

⎜ ⎟

Il massimo relativo in - 2, comporta :

⎝ ⎠

15

[ ]

( )

− = → + + = + + =

4 2

y ' 2 0 5

ax 3

cx e 80 a 12

c e 0

= −

2

x

[ ]

( )

− = + = − − <

3

y ' ' 2 20 ax 6

cx 160 a 12

c 0

= −

2

x

Bisogna allora risolvere il sistema seguente:

⎧ 32

+ + = −

⎪

e 4

c 16 a

⎨ 15

⎪⎩ + + =

80 a 12

c e 0

Ora sottraendo una delle equazioni dall’altra ricaviamo:

⎧ 4

= − 8

c a

⎪

⎪ 15

⎨ 16

⎪ = −

16

e a

⎪

⎩ 5

per cui ( )

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

4 16 4 16

= + + = + − + − = − + + −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

5 3 5 3 5 3 3

y ax cx ex ax 8

a x 16 a x a x 8 x 16 x x x

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 5 15 5

⎛ ⎞

4 16 1

= − − < → > −

−

⎜ ⎟

con la condizione - 160a - 12 8 64 0

a a a per avere un massimo relativo

⎝ ⎠ 20

15 5

⎛ ⎞

64

−

⎜ ⎟

2

, .

nel punto ⎝ ⎠

15 9

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Punto b

Dimostrare che tali grafici hanno tre punti in comune, in due dei quali hanno anche la stessa

tangente. ( ) 4 16

= − + + −

5 3 3

Calcolo punti in comune: partendo dall’equazione y a x 8 x 16 x x x

15 5

I punti in comune si ricavano imponendo tale sistema: ⎧

⎪ = → =

0 0

x y

( ) ( )

⎧ ⎪

2

− + = − =

5 3 2

8 16 4 0

x x x x x ⎪

⎪ 64

→ = − → =

⎨

⎨ 2

x y

4 16

= − 15

3 ⎪

⎪ y x x

⎩ 15 5 ⎪ 64

= + → = −

x y

2

⎪

⎩ 15

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

( ) 64 64

− −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

0

,

0 , 2

, , 2

, e come si nota il secondo ed il terzo sono

I punti sono allora ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 15

effettivamente simmetrici rispetto all’origine.

Ora le tre tangenti sono ⎡ ⎤

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛

( ) 16

16

16

4 = − → = −

→ = = + − + − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜

4 2

⎢ ⎥

y mx m ax a x a a y a x ,

16

16

8 16

Tangente in 0,0 , 5 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⎝

⎣ ⎦ 5

5

5

15 = 0

x

⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

( ) 64

16

4

64 64

− → + = − = + − + − = → = −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

4 2

⎢ ⎥

m x m ax a x a y ,

0

8 16

2 , 5 3

Tangente in 2

,

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦ 15

5

15

15 15 =

x 2

⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

( ) 64

16

4

64 64

− → − = + = + − + − = → =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

4 2

⎢ ⎥

y m x m ax a x a y ,

0

8 16

2 , 5 3

Tangente in 2

,

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦ 15

5

15

15 15 = −

x 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

64 64

− −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

Le tangenti nei punti 2

, , 2

, sono retti parallele all’asse delle ascisse e questo è una

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 15

conferma dei calcoli effettuati perché per ipotesi il punto c è un massimo per cui la tangente in esso

⎛ ⎞

64

−

⎜ ⎟

non è altro che una retta parallela all’asse delle ascisse. Lo stesso dicasi per il punto 2

, che

⎝ ⎠

15

⎛ ⎞

64

−

⎜ ⎟

essendo simmetrico al punto 2

, rispetto all’origine degli assi sarà un minimo e la tangente

⎝ ⎠

15

esso è sempre parallelo all’asse delle ascisse.

Le tre tangenti sono differenti per cui la traccia presenta un errore. 10

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Punto c γ

Indicare con il grafico avente come tangente inflessionale l’asse x e disegnarne

l’andamento.

Calcolo dei flessi: ( )

( ) 3

c

= + = + = → = = ± <

3 2 se ac 0

y ' ' x 20 ax 6 cx 2 x 10 ax 3

c 0 x 0

, x 10 a

Affinché la tangente inflessionale sia l’asse delle ascisse allora tale tangente deve avere equazione

=

y 0 ( 0

,

0

)

e questo, visti i punti di flesso, accade se e solo se la tangente inflessionale nel flesso ,

=

y mx , ha coefficiente angolare nullo.

che ha equazione ( 0

,

0

) è stato già calcolato prima ed è