2001. Liceo scientifico di ordinamento, sessione suppletiva

Sessione suppletiva 2000 – 2001 Liceo di ordinamento Soluzione di Nicola De Rosa

Una sola delle seguenti combinazioni è corretta: individuarla e fornire un’esauriente giustificazione

della risposta:

a) A vera – B vera; b) A vera – B falsa; c) A falsa – B vera; d) A falsa – B falsa.

2. Si consideri il cubo di spigoli AA’, BB’, CC’, DD’, in cui due facce opposte sono i quadrati

ABCD e A’B’C’D’. Indicato con E il punto medio dello spigolo AB, sia CF la retta perpendicolare

a DE condotta per C. I piani D’DE e C’CF dividono il cubo in quattro parti. Calcolare a quale

frazione del cubo equivale ciascuna di esse.

3. Calcolare se esiste un numero naturale n per il quale risulti:

 

n n

∑   = 1048576 .

 

k

 

= 0

k

4. Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, derivabile con derivata continua in tutto il campo

x ( )

∫ −

f t dt x

0

reale, tale che: f(0) = 1 ed f ’(0) = 2. Calcolare: .

lim −

→ cos 2 x 1

x 0 x

5. Dimostrare che la derivata, rispetto ad x, della funzione a , dove a è un numero reale positivo

x ln a .

diverso da 1, è a

6. Fra i rettangoli di dato perimetro determinare quello di area massima. 1  

x

∫

2  

f dx

7. Una primitiva della funzione f(x) è x + 2 x . Se è possibile calcolare , determinare il

2

0

valore dell’integrale. In caso contrario spiegare perché il calcolo non è possibile.

8. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sia T un trapezoide di base

[a,b] relativo alla funzione f(x), continua in tale intervallo. Dimostrare la formula che esprime il

volume del solido generato dal trapezoide quando ruota di un giro completo attorno all’asse x.

9. Calcolare la derivata della funzione sen 2x rispetto alla variabile x, ricorrendo alla definizione di

derivata di una funzione

10. Considerata una funzione reale di variabile reale f(x), derivabile almeno due volte in un dato

punto a, affinché la funzione f(x) abbia in a un punto di flesso la condizione f "(a) = 0 è:

a) necessaria e sufficiente;

b) necessaria ma non sufficiente;

c) sufficiente ma non necessaria.

Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della risposta. 2

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PROBLEMA1

Punto 1

• Dominio di definizione 2

x − + ≠

= x : x 2 m m 0

Il dominio della funzione è dato da . Si presentano 2

f m − +

x 2 m m

possibilità: − + ≠

> x : x 2 m m 0

1. : la condizione è sempre soddisfatta;

m 0 { }

− ≠ ± ⇒ ≠

− + ≠

< x 2 m m x m

,

3

m

x : x 2 m m 0

2. : la condizione è soddisfatta per .

m 0 >



2 R se m 0

x

= 

Il dominio di definizione di è dunque D : .

f { }

− <

m f

− + R m

,

3

m se m 0



x 2 m m

• Dominio di continuità

Per quanto riguarda la continuità possiamo affermare che la funzione è continua in

>

 R se m 0 = =



D : e nei punti presenta due discontinuità di seconda specie.

x m

, x 3

m

{ }

− <

c R m

,

3

m se m 0



• Dominio di derivabilità 2

x

=

La funzione è riscrivibile nel modo seguente:

f m − +

x 2 m m

 2

x ≥ ∧ ≠

x m x m

se 2





2 −

x x m

= =  ; di conseguenza la derivata prima è

f m − + 2

x m m

2 x

 < ∧ ≠

x m x m

se 2 3

 −

 m x

3

 −

2

x xm

2 ≥ ∧ ≠

se x 2 m x m

 ( )

− 2

 x m

=

'  ; nei punti in cui la funzione non è continua non è

f m − 2

 6 mx x < ∧ ≠

se x 2 m x 3

m

 ( )

− 2

 3

m x = . Si ha:

nemmeno derivabile, ed inoltre va analizzata la natura del punto x m

2

 

−

2

x 2 xm

= =

'  

lim f lim 0

( )

m − 2

+ +

→ →  

x m

x 2 m x 2 m  

− 2

6 mx x

= =

'  

lim f lim 8

m

( )

m − 2

− −

→ →  

3

m x

x 2 m x 2 m ≠ =

Ricordando che per ipotesi, il punto è un punto angoloso e quindi di non

m x m

0 2 3

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{ }

− >

 R 2 m se m 0



derivabilità. In conclusione il dominio di derivabilità è D : .

{ }

− <

d R m

, 2 m

,

3

m se m 0



Punto 2  2

x >

se x 2

 −

x 1





2

x

= = = =



Per si ha

m 1 f 4 se x 2

1 − +

x 2 1  2

x

 <

se x 2

 −

 3 x

Studiamo la funzione:

• = >

Dominio: essendo il dominio è R;

m 1 0 2

x

• = = ⇔ =

Intersezione asse ascisse: ;

f x

0 0

1 − +

x 2 1

• = ⇒ =

Intersezione asse ordinate: ;

x y

0 0

• Positività: la funzione è sempre non negativa in quanto sia il numeratore che il denominatore

≥ ∀ ∈

f 0 x R

sono sempre non negativi, cioè ;

1

• = >

Asintoti verticali: essendo il dominio di continuità è tutto R da cui deduciamo

m 1 0

l’assenza di asintoti verticali;

• Asintoti orizzontali: non ve ne sono in quanto

   

2 2

x x

   

= = +∞

=

lim f lim lim  





1 − + −

→ +∞ → +∞ → +∞

2 1 1

x x

 

x x x

 

   

2 2

x x

   

= = = +∞

lim f lim lim  

 

1 − + −

→ −∞ → +∞ → −∞

x 2 1 3 x

 

x x x

 

• = +

Asintoti obliqui: hanno equazione . Si hanno due casi:

y mx q

     

2 2

f x x x

( )

   

= = = = − = − = =

>  

1

m lim lim 1

, q lim f x lim x lim 1

1. :

x 2    

1 − −

−

2  

→ +∞ → +∞ → +∞ → +∞ → +∞

x x x

1 1

   

x x

x x x x x

= +

per cui è asintoto obliquo destro:

y x 1

<

2. :

x 2      

2 2

f x x 3 x

( )

   

= = = − = − = + = = −

 

1

m lim lim 1

, q lim f x lim x lim 3 per

   

1 − −

− 2  

→ −∞ → −∞ → −∞ → −∞ → −∞

x x x

3 3

   

3 x x

x x x x x

= − −

cui è asintoto obliquo sinistro:

y x 3 4

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 −

2

x 2 x >

se x 2

 ( )

− 2

 x 1

• >

=

' 

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è ; per la

x 2

f 1 − 2

 6 x x <

se x 2

 ( )

− 2

 3 x

( )

−

x x 2 ( )

+∞

=

' 2

,

derivata prima è che è sempre positiva, per cui in la funzione è

f ( )

1 2

−

x 1 ( )

−

x x

6

< =

'

strettamente crescente; per la derivata prima è per cui

x f

2 ( )

1 2

− x

3

( )

−

x x

6 ( )

− ∞

= > ⇒ < <

' ,

0

, cioè la funzione è strettamente decrescente in e

f x

0 0 2

( )

1 2

− x

3 ( ) ( )

0

, 2 m 0

,

0

strettamente crescente in . Quindi il punto è di minimo relativo ed assoluto. Il

( ) =

A 2

, 4 è un punto angoloso con tangente destra di equazione e tangente sinistra di

punto y 4

= −

equazione ;

y x

8 12 2

• =

> "

Concavità e convessità: per la derivata seconda è che è sempre positiva, per

f

x 2 ( )

1 3

−

x 1

( )

+∞ <

2

, la funzione ha concavità verso l’alto; per la derivata seconda è

cui in x 2

18 ( )

− ∞

=

" , 2

che è sempre positiva, per cui anche in la funzione ha concavità verso

f ( )

1 3

− x

3

l’alto; in conclusione la funzione presenta sempre concavità verso l’alto.

Di seguito il grafico:

Punto c ( ) =

A 2

, 4

La retta passante per e parallela all’asse delle ascisse ha equazione . Le intersezioni di

y 4 5

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2 2

x x

=

= =

con la curva di equazione si ricavano risolvendo l’equazione ,

f

y 4 4

1 − + − +

x x

2 1 2 1

( )

= − ≥ − + = ≥

2 2

x 4 x 1 se x 2 x 4 x 4 0 se x 2

⇒ da cui

cioè ( )

= − < + − = <

2 2

x 4 3 x se x 2 x 4 x 12 0 se x 2

( ) = ≥

− = ≥

2 x 2 se x 2

x 2 0 se x 2 ⇒ . Le intersezioni sono allora

( )( ) = − ∨ = <

+ − = < x 6 x 2 se x 2

x 6 x 2 0 se x 2

( ) ( )

−

A 2

, 4 , B 6

, 4 . L’area da calcolare è di seguito colorata in grigio:

Tale area vale:

   

 

   

−

2 2 2  

2 2

x x 9 9 9

∫ ∫ ∫

   

= − = − + = − − − + =

 

   

S 4 dx 4 dx 4 x 3 dx

 

   

− − − −

 



x x x

3 x 3 3 3

   

   

− − −

6 6 6 .

( ) 2

 

+

2 2

     

9 x 7 81 1

∫

= + − = + − = − + = −

     

 

x 7 dx 9 ln 3 x 9 ln 9 40 18 ln 3

−

     

3 x 2 2 2

 

− 6 − 6 6

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PROBLEMA2

Punto a

Consideriamo la figura a lato in cui è rappresentata la

piramide con base un triangolo rettangolo in A in cui

OH

è inscritta una circonferenza di raggio . Il cateto

AB 3

=

AC per il teorema di Pitagora, sapendo che ,

5

BC

misura 25 4

2 2 2 2

= − = − =

AC BC AB AB AB AB .

9 3

L’area del triangolo rettangolo è allora

⋅

AB AC 2 2

= =

S AB .

ABC 2 3 2 2

= = 2 ricaviamo

Imponendo S AB 24 a

ABC 3

= = = .

AB 6 a , AC 8 a , BC 10 a

Il raggio della circonferenza inscritta è pari al rapporto tra area e semiperimetro del triangolo

2

24 a

= =

rettangolo e cioè OH 2 a , per cui l’altezza della piramide misura

12 a 12 12

ϕ ϕ

sin sin 24

13 13

ϕ

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

VO OH tan OH OH 2 a 2 a a .

ϕ 5

ϕ

−

cos 5

2 144

1 sin −

1 13

169

Punto b

Se indichiamo con h la distanza di C dalla faccia VAB, essa è altezza della piramide di base VAB.

⋅ 576 26

AB VH 2 2

= + = + =

= 2 2

a a a

VH VO OH 4

L’area del triangolo VAB è S dove ;

VAB 25 5

2

26

⋅

6 a a

⋅

AB VH 78

5

= = = 2

di conseguenza cui corrisponde il volume della piramide

S a

VAB 2 2 5

⋅

S h 26

= = 2

VAB . Ma il volume della piramide è anche pari a

V a h

3 5 24

⋅

2

a a

24

⋅

S VO 192

5

= = = 3

ABC ; imponendo l’uguaglianza tra i due volumi si ha

V a

3 3 5 7

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26 192 96

= ⇒ =

2 3 .

a h a h a

5 5 13

Punto c

Consideriamo la figura a lato rappresentante la geometria

24

= < <

x

VO'

del quesito. Poniamo con , per cui

0 x a

5

 

24

= −

 

l’altezza del prisma è .

OO' a x

 

5

I triangoli ABC e A’B’C’ sono simili in quanto il piano

α è parallelo alla base, per cui vale la seguente

proporzione tra perimetri di base ed altezze:

= ⇒

2p : 2p VO : VO'

ABC A' B'

C'  

 

VO' x

 

⇒ = ⋅ = ⋅ =

2p 2p 24 a 5 x

.

A'

B'

C' ABC  

24

VO  

a

 

5

Dalla similitudine tra i triangoli ABC ed A’B’C’ deduciamo che i lati del triangolo A’B’C’ stanno

=

nello stesso rapporto dei lati di ABC e cioè 3, 4, 5, cioè da cui

A' B' : B' C' : A' C' 3 : 4 : 5

componendo la proporzione si ricava

( ) ( )

+ + = + + ⇒

A' B' B' C' A' C' : A' B' 3 4 5 : AB 2p 5 x 5

⇒ = ⇒ = ⋅ = ⋅ =

A' B'

C'

2p : 2p A' B' : AB A' B' AB 6 a x

.

A'

B'

C' ABC 2p 24 a 4

ABC

5 25

= =

Di conseguenza e l’area del triangolo A’B’C’ è

A' C' x , B' C' x

3 12

⋅

A' B' A' C' 25

= = 2 . Il volume del prisma è

S x

A ' B '

C ' 2 24   24

25 24 25

( ) < <

= ⋅ = ⋅ − = −

2 2 3

  con . Il valore massimo del

0 x a

V x S OO' x a x 5 ax x

P A ' B '

C '   5

24 5 24 25

( ) = −

' 2

volume lo calcoliamo mediante derivazione: per cui

V x 10 ax x

P 8

24

< <

25 16

( ) 0 x a

= − > 

 



→ < <

' 2 5

V x 10 ax x 0 0 x a

P 8 5

24

< <

25 16 24

( ) 0 x a

= − < 

 



→ < <

' 2 5

V x 10 ax x 0 a x a

P 8 5 5 8

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16

=

da cui deduciamo che il volume massimo lo si ha per e quindi quando l’altezza del prisma

x a

5

 

24 16 8

= − =

 

misura e tale volume massimo vale

OO' a a a

 

5 5 5

2 3

     

16 16 25 16 256

= ⋅ − = 3

      .

V a 5 a a a a

P      

5 5 24 5 15

Punto d

L’area totale del prisma è pari alla somma delle due aree di base e dell’area laterale:

−

 

25 24 5 35

a x

( ) = + ⋅ = + ⋅ = −

2 2

 

2 2 OO' 5 24

S x S p x x ax x

P A B C A B C

' ' ' ' ' '  

12 5 12

( )( )

− +

24 5 24 7 35 24

a x a x

= = − + + < <

2

4 48 con 0

x ax a x a

.

12 12 5

Notiamo che l’area totale è un arco di parabola con concavità verso il basso che raggiunge il suo

24 a 144

= − =

x a

massimo nell’ascissa del vertice e cioè in cui corrisponde

35 35

− 6

 

24 a 144 24

= − =

  . In conclusione il prisma di volume massimo non coincide con quello

OO' a a

 

5 35 35

di area totale massima in quanto le altezze massime non coincidono. 9

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QUESTIONARIO

Quesito 1

La risposta esatta è D. Infatti la proposizione A è falsa perché una funzione può essere definita in un

≠