2001 - Liceo scientifico di ordinamento - questionario sessione suppletiva

Esame di stato

Sui coefficienti binomiali

Quesito n.3 del Questionario della Prova d’Esame di Stato dei Corsi Tradizionali, sessione

suppletiva, dell’anno 2001 ⎛ ⎞

n n

∑ =

⎜ ⎟

Calcolare se esiste un numero n per il quale risulti 1.048.576

⎝ ⎠

k

=

k 0

Soluzione

Si tratta di stabilire se esiste un numero naturale n che verifica l’uguaglianza richiesta. Faremo

vedere che esiste un solo numero intero che ha detta proprietà.

Ricordiamo che sussiste la seguente regola per lo sviluppo della potenza n-esima del binomio

a+b ⎛ ⎞

n n

∑

( ) −

n

+ = n k k

⎜ ⎟

a b a b

⎝ ⎠

k

=

k 0

conosciuta come regola di Newton per lo sviluppo della potenza del binomio. Ebbene, con

a=b=1 la regola diventa

( ) ( )

n n

+ = + = n

a b 1 1 2

e quindi si ha anche

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

n n

n n

∑ ∑

−

= =

n n k k

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

2 1 1 .

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

k k

= =

k k

0 0 20

Osservato che 1.046.576 è il valore della potenza 2 , si conclude che il numero richiesto è

n=20. Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it

Esame di stato ô

(Sulla funzione integrale e la regola di de l’H pital)

Quesito n.4 del Questionario della Prova d’Esame di Stato dei Corsi Tradizionali, sessione

suppletiva, dell’anno 2001

Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, derivabile con derivata continua in tutto il

1) campo reale, tale che f(0)=1 ed f’(0)=2. Calcolare:

x

∫ −

f (

t ) dt x

0

lim −

→ cos 2 1

x

x 0 Soluzione

La funzione f(x) essendo derivabile su tutto l’asse reale è anche continua e perciò esiste ed è

x

∫

finito l’integrale definito per ogni x reale. Inoltre, il teorema fondamentale del calcolo

f (

t ) dt

0 x

∫

=

integrale assicura che la funzione è una primitiva della funzione f(x) e dunque

F ( x ) f (

t ) dt

0

=

F '( x ) f ( x ) .

risulta

La funzione F(x) è definita su tutto l’asse reale ed essendo derivabile è anche continua, perciò

0

∫ =

= f (

t ) dt 0

risulta lim F ( x ) F (0) ; poiché si deduce che F(0)=0.

→ 0

x 0

Da quanto detto emerge che il limite in esame si presenta nella forma 0/0 e poiché le funzioni

che figurano al numeratore de al denominatore della fazione sono continue e derivabili risultano

ô

soddisfatte le condizioni per l’applicazione della regola di de l’H pital al limite. Applichiamola.

x

∫ − −

f (

t ) dt x f ( x ) 1

H .

=

0

lim lim

− −

→ →

cos 2 1 2 2

x sen x

x x

0 0

Il limite ottenuto si presenta ancora nella forma 0/0 perché sono continue le due funzioni f(x),

sen2x e per ipotesi risulta f(0)=1,oltre che essere anche sen(2⋅0)=0. Sussistono le condizioni per

ô pital per lo studio del limite. Si ha

applicare ancora una volta la regola di de l’H

−

f ( x ) 1 f '( x )

H .

=

lim lim

− −

→ →

2 sen 2 x 4 cos 2 x

x 0 x 0

Ricordando ora che per ipotesi è continua anche la funzione f′ (x) su tutto l’asse reale e che

=

f '(0) 2 , il limite ottenuto ha valore finito e risulta

risulta f '(0) 2 1

= =−

lim ( )

− ⋅ −

→ 4 cos 2 0 4 2

x 0

Conclusione ô

Il limite proposto esiste ed ha valore -1/2 in virtù di quanto previsto dal teorema di de l’ H pital.

Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it

Esame di stato 2001

(Calcolo di derivate)

Quesito n.5 del Questionario della Prova d’Esame di Stato dei Corsi Tradizionali, sessione

suppletiva, dell’anno 2001 x

Dimostrare che la derivata, rispetto ad x, della funzione a , dove a è un numero reale

2) x

positivo diverso da 1, è a loga. Soluzione

Ricordiamo che la derivata prima in un punto reale x di una funzione f(x) di variabile reale che

0

abbia x come punto di accumulazione per il suo dominio è definita come il valore del seguente

0

limite −

f ( x ) f ( x )

0

lim −

→ x x

x x

0 0

qualora questo esista e sia finito. Il rapporto di cui si calcola il limite è detto rapporto

incrementale della funzione relativo al punto x . Ponendo x- x =h il limite si può esprimere

0 0

anche nella seguente forma

+ −

f ( x h ) f ( x )

0 0

lim

→ h

0

h x è definita per ogni x reale, si

Ciò premesso, considerato che la funzione esponenziale f(x)=a

tratta di provare che risulta +

+ − −

x h x

f ( x h ) f ( x ) a a

= = ⋅

x

lim log

lim a a

→

→ h h

h

h 0 0

Ebbene, osserviamo intanto che possiamo scrivere

( )

⋅ −

x h

+ − ⋅ − −

a a 1

x h x x h x h

a a a a a a 1

= = = ⋅

x

lim lim ;

lim a lim

→ → → →

h h h h

h h

0 0 h h

0 0

inoltre ricordiamo che : −

h

e 1 =

• sussiste il limite notevole , essendo e il numero di Nepero;

lim 1

→ h

h 0

=

• log y

sussiste l’uguaglianza numerica y e , per ogni y>0 e dunque risulta anche

= =

h

h log a h log a

a e e , essendo per ipotesi a>0.

Per quanto precede, possiamo scrivere il limite del rapporto incrementale in questione nella

seguente forma

− −

h h log a

a 1 e 1

⋅ = ⋅

x x

a lim a lim

→ →

h h

h 0 h 0 ∧

A questo punto, sapendo che a>0 a≠1 si deduce che loga≠0 e possiamo moltiplicare

numeratore e denominatore della frazione argomento del limite per loga ottenendo l forma

equivalente − −

h log a h log a

e 1 e 1

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

x x

a lim log a a log a lim

⋅ ⋅

→ →

h log a h log a

h 0 h 0

=

h log a t , osserviamo che

Ponendo ora

→ ⇒ →

h 0 t 0

e passando alla nuova forma del limite nella variabile t, in virtù del limite notevole

richiamato sopra, possiamo scrivere in definitiva

− −

h t

a 1 e 1

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

x x x

a lim a log a lim log

a a C.V.D.

→ →

h t

h t

0 0 Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it