2000 - Liceo scientifico PNI - problema 3 - maturità matematica

A 2 0 0 0 Esame di stato – Corsi sperimentali del Piano nazionale Informatica (PNI) –

N

N

O

Sessione ordinaria - Problema n.3

Assegnata la funzione

= ⋅ + ⋅

2

f ( x ) a log x b log x

Dove il logaritmo si intende in base e, il candidato:

a) Determini per quali valori di a e b la f(x) ha un minimo relativo nel punto

⎛ ⎞

1

−

⎜ ⎟ ;

e ;

⎝ ⎠

4

b) Disegni la curva grafico della funzione per i valori a e b così ottenuti e calcoli

l’area della regione finita da essa delimitata con l’asse x.

Calcoli infine la probabilità che lanciando un dado cinque volte, esca per tre volte lo stesso

numero. Soluzione

Osservazione

La funzione assegnata dipende da due parametri soltanto. Nel quesito a) si richiede di imporre

che siano soddisfatte tre condizioni. Infatti,

1. la curva rappresentativa del grafico della funzione deve passare per il punto

⎛ ⎞

1

−

⎜ ⎟ ;

e ;

⎝ ⎠

4 =

2. se per x e vi deve essere un minimo è necessario che nel punto si annulli la

derivata prima ma questa condizione non è sufficiente ad assicurare che la

funzione vi abbia un minimo;

3. affinché nel punto si abbia un minimo relativo è necessario imporre un’ulteriore

( ) >

condizione ( per esempio, che si abbia f '' e 0 .

Il problema dunque non è ben posto. Vedremo, tuttavia, che imponendo la condizione di

⎛ ⎞

1

−

⎜ ⎟

e ; e che si annulli la derivata prima nel punto

passaggio della curva per il punto ⎝ ⎠

4

=

x e i valori dei due parametri resteranno univocamente determinati e che la funzione

=

x e un minimo relativo,

ottenuta in corrispondenza agli stessi ha effettivamente nel punto

anzi il minimo sarà assoluto.

La condizione di passaggio della curva dal punto è rappresentata dalla condizione

a) ( ) 1

= −

f e che diventa

4 1 1 1 1

+ = − →

+ ⋅ = − → + = −

2 a 2

b 1

a log e b log e a b

4 4 2 4 =

Imponiamo che la derivata prima si annulli nel punto x e

+

( )

1 1 a b

= ⋅ + ⋅ → = =

f x a x b f ' e 0

'( ) 2 log x x e

Risolvendo il sistema formato dalle due equazioni ottenute

+ = −

⎧ a 2

b 1 =

⎧

⎪ a 1

+

⎨ ⎨

si ricavano i valori

a b = = −

⎩

0 b 1

⎪

⎩ e

L’espressione analitica della funzione in esame è Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it

= −

2

f ( x ) log x log x

Studio della funzione

• Dominio: La funzione è definita per ogni x reale positivo. A=]0;+∞[

• Segno e zeri

La disuguaglianza f(x)≥0 si può scrivere nella forma seguente

( )

⋅ − ≥ il cui insieme di soluzioni è ]0;1]∪[e;+∞[. In particolare gli zeri

log x log x 1 0

sono i due punti x =1, x =e. La funzione è negativa nell’intervallo ]1;e[.

1 2

• Limiti nei punti di frontiera { }

= +∞

La frontiera del dominio è . Si ha:

Fr ( A

) 0;

( ) ( ) ( )

= −∞ ⋅ −∞ − = +∞

⋅ − =

lim f ( x ) 1

lim log x log x 1

+ +

→ →

x 0 x 0

dunque l’asse delle ordinate è asintoto verticale da destra;

( ) ( ) ( )

= ⋅ − = +∞ ⋅ +∞ − = +∞

lim f ( x ) lim log x log x 1 1

→+∞

→+∞ x

x dunque per x→+∞ il diagramma della funzione non ha asintoto orizzontale.

Facciamo vedere che non vi è neanche asintoto obliquo. Infatti risulta

− −

2

f ( x ) log x log x 2 log x 1 2

.

H H

.

=

= = =

lim (C.V.D.)

lim lim lim 0

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

x

x x x

x x x x

• Monotonia, massimi e minimi relativi

La funzione è derivabile in tutto il dominio di definizione e si ha

−

2 log x 1

=

'( )

f x x > > <

f '( x ) 0 per x e , f '( x ) 0 per

Si riconosce facilmente che risulta ( )

⎤ ⎡

∈ =

x 0; e , e come già sappiamo f ' e 0 . Pertanto la funzione è strettamente

⎦ ⎣ ⎤ ⎡

decrescente nell’intervallo 0; e , strettamente crescente nell’intervallo

⎦ ⎣

⎤ ⎡

+∞ =

e ; ed il punto x e è di minimo relativo proprio. Anzi, visto che il

⎦ ⎣ =

dominio è un intervallo e che x e è l’unico punto di minimo esso sarà anche di

( ) 1

= −

f e

minimo assoluto. Il valore del minimo è già noto: .

4

• Concavità e flessi −

3 2 log x

=

La derivata seconda è . Risultando

f x

''( ) 2

x

> <

f ''( x ) 0 per x e e ,

< >

f ''( x ) 0 per x e e ,

( ) =

f '' e e 0 ,

concludiamo che la curva rappresentativa del diagramma della funzione è convessa

⎤ ⎡

0;e e , è concava nell’intervallo

(volge la concavità verso l’alto) nell’intervallo ⎦ ⎣

⎤ ⎡

+∞ =

e e ; ed ha un flesso nel punto di ascissa x e e . Il flesso è discendente e la

⎦ ⎣ ( ) 3

= .

sua ordinata è f e e 4 Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it

Calcolo dell’area della regione piana

La regione piana delimitata dal diagramma della funzione e dall’asse delle ascisse è

collocata nel semipiano delle ordinate negative. Il valore della sua area è dato dal seguente

integrale definito

( )

e

∫

= − − =

2

Area log x log x dx

1

Il calcolo dell’integrale indefinito si esegue procedendo con l’integrazione per parti che deve

essere applicata due volte. Si ha

( )

e e e

∫ ∫ ∫

− − = − + =

= 2 2

log x log x dx log xdx log xdx

Area 1 1 1

⎛ ⎞

1 [ ]

e

∫

e

⎡ ⎤ e

⋅ ⋅ ⋅

− + + − = = −

2 ⎜ ⎟

2 log x

x log x x dx x log x x e

... 3

⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 1

x

1 1

Parte sulla probabilità.

Lanciando un dado, supposto regolare, la probabilità che esca un particolare numero è 1/6.

Nel testo del quesito posto si richiede di determinare quale sia

<<la probabilità che lanciando un dato (regolare) per cinque volte si

presenti lo stesso numero esattamente tre volte>>.

Osservazione

La formulazione del quesito mi sembra ambigua. Infatti si può interpretare la richiesta in due

modi.

Prima interpretazione

La richiesta sia quella di determinare la probabilità che si presenti nei cinque lanci

per tre volte uno particolare dei sei numeri presenti sulle facce. Ad esempio, fissato il

numero X=4, determinare la probabilità dell’ evento:

= “ Il numero 4 si presenta tre volte nei cinque lanci”

E

1

Seconda interpretazione

La richiesta sia quella di determinare la probabilità che si presenti nei cinque lanci

per tre volte uno qualsiasi dei sei numeri presenti sulle facce. In questo caso l’evento

di cui calcolare la probabilità è: Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it