1999 - Liceo scientifico di ordinamento - problema 2

2) = + +

2

La parabola p di equazione y ax bx c ha come asse di simmetria l’asse del segmento di AB.

Tale asse del segmento ha equazione x=0 e ricordando le formule dell’asse di simmetria per una

parabola una prima condizione da imporre è:

− b = =

⇒

0 b 0

2 a

Il passaggio per A=(-r,0) e B=(0,r) impone una stessa condizione e cioè:

+ = = −

⇒

2 2

ar c 0 c ar

Da cui l’equazione diventa: ( )

= −

2 2

y a x r

L’ultima condizione è sul segmento parabolico di area assegnata che comporta:

r

( )    

r 3 3 3

8 x r 4 r 8 2

∫ − = − = − = − = = −

⇒ ⇒

2 2 2 2 3 2

a x r dx r a xr a r a r a

2

   

3 3 3 3 3 r

   

− −

r r

da cui : 2

= +

2

y - x 2r

r

3)

Le coordinate dei punti comuni si trovano dalla risoluzione del seguente sistema:



 + =

2 2 2

x y r 2 ( )( )

  

2

+ − + = − − =

⇒ ⇒ ⇒

2 2 2 2 2 2 2

 

 x x 2 r r x r 4 x 6 r 0

 

r

 2

= − +

 2

y x 2 r

 r    

r 3 r r 3 r

   

= − = = = −

A ( r,0), B (r,0), C , , D ,

   

2 2 2 2

   

4) =

S S per simmetria

1 2 = −

2 2

Nel primo quadrante, se scriviamo l' equazione della circonfere

nza in forma esplicita, otteniamo y r x

ed S risulta essere pari a :

1 [ ]

   

r r r

   

2 2

∫ ∫ ∫

= − − − + = − + − − +

2 2 2 2 2 2

   

S r x x 2 r dx r x dx x 2 r dx

   

1  

 

r r

3 3 3

r r r

2 2 2

Ora: