Documenti didattici di Matematica

Definizione Data una matrice A in mathbb{R}^{n imes n} , la potenza k -esima di A ( k in mathbb{N} ), è definita ricorsivamente così come segue A^k = {(I, quad "se " k = 0),(A^{k-1} cdot A, quad "se " k >

Definizione Data una matrice A in mathbb{R}^{n imes n} , l'esponenziale di A è definita mediante questo sviluppo in serie e^{A} = I + A + frac{A^2}{2} + frac{A^3}{3!} + ldots + frac{A^n}{n!} + ldots = sum_{k=0}^{+infty} frac{A^

Definizione Se Omega è un insieme e ar{A} è l'insieme delle parti di Omega , una probabilità  P è una funzione P: ar{A} o [0,1] che rispetta queste proprietà  1) P(Omega) = 1 2) Se {A_i}_{i=1}^{+infty} sono e

Data la seguente funzione: f(x) = (x^2 - 1) ln|x^2 - 1| stabilire se è continua, limitata, se ha massimi e/o minimi relativi e assoluti e calcolarne l'immagine. Un logaritmo ha senso solo se l'argomento è positivo; dato che |x^2 - 1...

Si risolva l'equazione logsinx+logsin2x=logcosx+1 Il logaritmo è da intendersi in base 2 La prima cosa da fare è definire il dominio. In particolare, la funzione logaritmo richiede che l'argomento sia positivo {(sinx>0),(sin2x>0),(c

Si risolva la seguente disequazione esponenziale goniometrica (e^(cosx)-sqrt(e))/(e^(tanx)-e^(1/sqrt3))>0 Dobbiamo studiare il comportamento di numeratore e denominatore, separatamente (omettiamo la periodicità , riportando i risultati del primo giro...

Calcolare int_{-infty}^{+infty} (frac{sin(x)}{x})^3 dx La funzione integranda è prolungabile per contiinuità  in x=0 , dato che lim_{x o 0^{-}} (frac{sin(x)}{x})^3 = lim_{x o 0^{+}} (frac{sin(x)}{x})^3 = 1 Dat

Calcolare lim_{x o 0} frac{e^{"tg"^3(x)} - 1}{x (cos(x) - e^{x^2})} Il limite si può riscrivere in questa forma lim_{x o 0} frac{e^{"tg"^3(x)} - 1}{"tg"^3(x)} frac{"tg"^3(x)}{x} frac{1}{cos(x) - e^

Due monete vengono lanciate più volte finché entrambe abbiano ottenuto testa almeno una volta. Qual è la probabilità  che occorrano k lanci?

Sia X una variabile aleatoria avente densità  di probabilità  f_{X}(xi) = {(frac{1}{2}(xi - 1), "se " xi in [1,3]),(0, "altrimenti"):}

Calcolare lim_{x o 0} frac{log_{a}(x + 2) - log_{a}(2)}{x} al variare di a > 0 . Ricordando le proprietà  dei logaritmi, il limite diventa lim_{x o 0} frac{1}{x} log_{a}(frac{x+2}{2}) = lim_{x o 0} frac{

E'dato il fascio di curve di equazione (a-1)x^2+2y^2-(5-a)x+ay+a-2=0 Stabilire per quali valori del parametro a il fascio rappresenta1)Una circonferenza 2)Una parabola con asse verticale3)Una parabola con asse orizzontale4)Una retta5)Una curva pass...

E' dato il fascio di parabole y=(3-a)x^2+(2a+1)x+1-a Stabilire per quali valori del parametro m si ottiene1)Una parabola con concavità  verso l'alto (e quindi verso il basso)2)Una retta 3)Una curva passante per l'origine4)Una parabola tangente all'...

Risolvere z^2 - i ar{z} = 0 per z in mathbb{C} , dove ar{z} indica il compesso coniugato di z . Detto ho il modulo di z e heta la sua fase, risulta z = ho e^{i heta} z^2 = ho^2 e^{i 2 heta} ar{z} = ho e^{-i heta}

Risolvere il seguente problema di Cauchy: {(y' = frac{y}{x} (frac{1}{2log(frac{y}{x})} +1)),(y(1) = e):} Le ipotesi del teorema di esistenza e unicità  sono soddisfatte, pertanto la soluzione al problema di Cauchy esiste ed è unica. Ponendo frac

Calcolare int int int_A (z+1) dxdydz con A = {(x,y,z) in mathbb{R}^3: 1 le x^2 + y^2 + z^2 le 4} Conviene passare in coordinate sferiche, mediante la trasformazione {(x = ho cos( heta) cos(phi)),(y = ho cos

Calcolare int int int_{A} 2z dxdydz con A = {(x,y,z) in mathbb{R}^3: x^2 + y^2 le 4, -sqrt{1 + x^2 + y^2} le z le sqrt{x^2 + y^2}} Dato che sqrt{x^2 + y^2} ge -sqrt{1 + x^2 + y^2} forall (x,y) in mathbb{R}^2 , a

Risolvere il seguente problema di Cauchy {(y' = frac{y}{1 + x^2} + 2x e^{"arctg"(x)}),(y(1) = 1):} Le ipotesi del teorema di esistenza e unicità sono soddisfatte, pertanto la soluzione a tale problema esiste ed è unica. Data un'equazione differenzial...

Si risolva il seguente limite lim_(xto pi/2){[cos(x/2)-sin(x/2)]*tanx} La forma è chiaramente indeterminata.Per valori di x che tendono a pi/2 , il valore di tanx va all'infinito, mentre la parentesi tonda tende a 0 .Per verificarlo basta sosti...

Trovare le radici dell'equazione 1/(cos^2x)-cos^2x-tan^2x=1/2 Anzitutto è necessario imporre le debite condizioni. In questo caso, occorre che il denominatore della frazione sia diverso da zero cos^2x!=0 cosx!=0 x!=pi/2+kpi Ora p...