Su due particolari funzioni periodiche e su alcune loro applicazioni

B C O C

Ora, applicando il teorema dei seni rispettivamente ai triangoli e si hanno le due

OAC BOC

proporzioni : : e , dalle quali le due funzioni originali sono

: cos :

α β α γ

= =

f sen r sen g r sen cos

' '

α α

⋅ ⋅

r

CC OC

r sen

( ) ( )

,

e = , per cui i loro rapporti

date dai due rapporti , =

α α

= =

g n

f m cos ' '

β γ

sen

OD EE

cos

α γ γ β

f sen sen sen g

diretti ed inversi sono e .

α α

= ⋅ = =

tag ctg

cos cos cos

α

β β γ

g f sen

Le due funzioni e come detto sono periodiche (periodo 2 ) ed anche se nei grafici delle figg.

π

f g

2 a, b relative alla sola risultano linee spezzate, sono generatrici di curve simili a cuspidi ed a

f,

parabole (analogamente per la rispettivamente per valori di ed come si può

g(n,x)), m,n<0 m,n>0,

rilevare dagli sviluppi delle relative curve della :

f(m,x) 2

figg. 2 a, b

La curva della funzione per ogni m reale negativo esclusi ha un periodo di 2 e si

π

f(m,x) -1<m<0,

( )

,

sviluppa nell’intervallo simmetricamente rispetto all’origine degli assi.

π π

− + ( )

e e un minimo in corrispondenza

Questa ha un massimo nei punti di ascissa π π

− +

dell’ascissa nulla. +

La curva della funzione per ogni m appartenente ad esclusi gli ha un periodo di 2 e

π

f, R 0<m<1,

( )

0

, 2

si sviluppa nell’intervallo simmetricamente rispetto ai punti di ascissa , ove ha un

π π

massimo; presenta due minimi in corrispondenza dei punti di ascissa nulla e 2 .

π

Le due funzioni generalizzate si hanno con OC=r, OA=r/m, OB=r/n:

r r

( ) ( )

2 2

, 1 2 cos e , 1 2 sin ,

α α α α

= + − = + −

f m m m g n n n

m n

per 1 nel II e III quadrante ed 1 nel I e IV quadrante;

− > > −∞ ∞ > >

m m

per 1 nel III e IV quadrante ed 1 nel I e II quadrante.

− > > −∞ ∞ > >

n n 3

Dentro di noi i principi della geometria euclidea

Nella rivista “Science” , vol. 213, n. 4513 (1981), alla pag. 1275 è riportato un articolo, dal quale si

deduce che sarebbero dentro di noi i principi della geometria euclidea.

Infatti, una serie di esperimenti ha dimostrato che un bambino di due anni e mezzo, cieco dalla

nascita (e così pure bambini e adulti vedenti, ma bendati), può individuare il percorso tra due

oggetti e , dopo essere andato verso ciascuno di essi, partendo da un terzo punto .

A B C

Per fare ciò, il bambino deve individuare le distanze ed il rapporto angolare dei percorsi e quindi

dedurre l’angolo del nuovo percorso.

In sintesi e servendosi della fig. 3 possiamo dire che il bambino effettuati i percorsi e ,

CA CB

calcola le stesse distanze, gli angoli e

β γ

Fig. 3

e in B̂ o

individuando il percorso calcolando la relativa

e quindi deduce gli angoli in  AB BA

distanza. Questi risultati dimostrano che il movimento del bambino cieco è guidato dalla

conoscenza delle proprietà euclidee dello spazio e dalle leggi necessarie per trarre le deduzioni

basate su tali proprietà. α α

Applicazione delle funzione periodiche f(m, ) e g(n, ) al caso precedente

Quanto detto sopra mi ha suggerito l’applicazione delle due funzioni periodiche, precedentemente

studiate . Per esporre l’argomento mi rifarò alla fig. 4, che costituisce un

α α

f(m, ) e g(n, )

completamento, a livello trigonometrico, della fig. 3. 4

fig. 4 r r

Il problema è quello di calcolare la distanza , essendo noti , , e , senza

α = =

AB r OA OB

m n

applicare il Teorema di Pitagora. È fondamentale considerare unitario, per cui =

=

OC r AC

e

α α

BC

f(m, ) = g(n, ).

Dai triangoli e , per il teorema dei seni ho rispettivamente:

OAC OBC sin ( )

α

⋅

r sin α

r

r

sin : ( ) sin : , da cui si ha sin , arcsin , cioè per ,

δ α δ δ

= = = ∈

f h N

m m

⋅

m f

sin α

⋅

r

( ) h

1 ed anche

δ π

= + −

h ⋅

m f ( )

sin 90 α

⋅ −

r

( )

r

sin : ( ) sin 90 : , da cui si ha sin ,

ε α ε

= − =

g

n ⋅

n g

cos

( ) α

⋅

sin 90 r

 

α

−

r ( ) h

arcsin , cioe` 1 .

 

ε ε π

= = + −

h

 

n ⋅

n g

∧ , nel triangolo applico il teorema dei seni ed ho:

Essendo δ ε

= +

CB

A ABC

∧

sin  

B ∧ ∧

f ο

, ma e quindi ho:

180  

δ ε

= = − + +

B A

∧  

g sin A

 

   

∧ ∧

ο

sin 180   sin

δ ε  

− + +

A δ ε

+ + ∧ ∧

  A ( ) ( )

sin cos cos sin

δ ε δ ε

  + + +

A A

   

f f f

; ; ;

= = =

∧ ∧ ∧

g g g

sin sin

A A A 5

∧

cos ( )

cos

A δ ε

∧ ∧ − ⋅ +

f f f g

( ) ( ) ( ) ( )

cos sin ; cot sin cos ; cot ;

δ ε δ ε δ ε δ ε

+ + + = + = − + =

A A

g g ( )

sin

∧ δ ε

⋅ +

g g g

sin A ( )

 

cos δ ε

∧ − ⋅ +

f g

1  

per cui cot ,

−

π

= +

A k g  

( )

sin δ ε

⋅ +

 

g

 

∧

sin

 

⋅ C

g

∧ 1

ovvero −

π

= +

A k tg  

∧

 

cos

− ⋅ C

f g

 

Infine dal triangolo per il teorema dei seni ho:

ABC ∧

sin

⋅ C

g

∧ ∧ ∧

: sin : sin e quindi e sostituendo il valore di trovato sopra si ha:

= =

C A A

AB g AB ∧

sin A

∧

sin

⋅ C

g .

=

AB  

 

∧

 

sin

 

⋅ C

g

1

sin −

 

tg  

∧

 

 

cos

− ⋅ C

f g

 

 

Il procedimento seguito ha consentito la risoluzione di un triangolo qualunque. ∧

La fig.4, alla luce delle integrazioni (in verde), riporta la fig.3, per cui essendo γ β δ ε

− = + = C

si può sostituire detto angolo nell’equazione risolvente , cioè

AB

( )

sin γ β

⋅ −

g , detto procedimento trigonometrico corrisponde al

=

AB  

( )

 

sin γ β

⋅ −

g

 

1  

sin −

tg  

 

( )

cos γ β

− ⋅ −

 

f g

 

procedimento euclideo di calcolo inconscio che fa con la mente il bambino, che si ribadisce:

il bambino di due anni e mezzo, cieco dalla nascita (e così pure bambini e adulti vedenti, ma

bendati), può individuare il percorso tra due oggetti e dopo essere andato verso ciascuno di

A B,

essi, partendo da un terzo punto C.

Per fare ciò, il bambino deve individuare le distanze ed il rapporto angolare dei percorsi e quindi

dedurre l’angolo del nuovo percorso.

IN REALTÀ COL PROCEDIMENTO DI CUI SOPRA SI SONO UGUAGLIATI

e CB , NONCHE` SI E` DEDOTTO L' ANGOLO DA

= =

CA f g

∧ ∧

A

E SI SONO CALCOLATI E AB .

γ β

− = C α α

Altre applicazioni delle funzione periodiche f(m, ) e g(n, )

Una quadratura del cerchio

Considerata la fig. 5 nella quale è stato disegnato il cerchio di raggio unitario, in cui è inscritto un

quadrato i cui vertici coincidono con i quattro punti delle intersezioni con gli assi ed la cui

x y 6

2 1

origine è Inscritto in detto quadrato vi è il cerchio di raggio = , la cui area è

=

O. OL 2 2

2

 

1 π

  .

π

= ⋅ =

S  

o 2 2

  fig. 5

1 π

( ) 2

Se si prende la funzione periodica , 1 2 cos , per si ha:

α α α

= + − =

f m m m 2

m

1 1 1

 

π π

2 2

, 1 2 cos 1 1 . (1)

  = + − = + = +

f m m m m 2

2 2

  m m m 1 π

2

2

Ora, si calcolerà il valore di che permetterà di avere . Infatti da 1 , con

= + =

m f S 0 2 2

m

2 1 2

2 π −

2 e

semplici passaggi si ha ; .

= =

= m

m 2 2

2 π

π −

− m 2

π π

−

( )

2 1

Sostituendo il valore di nella (1) si ha , che è proprio il lato del

π = + =

f

m 2 2

2 1

quadrato equivalente al cerchio di raggio , perché come anticipato è

=

OL = 2 2

π

2

( ( )

) .

π = =

f S 0 2 7

Detta quadratura del cerchio, per quanto sia impossibile ottenerla con riga e compasso e malgrado

non ci sia liberati dagli irrazionali, è stata ottenuta per le sole vie geometrica e grafica, avendo fatto

  π

π si è avuto cos 0 .

a meno della via trigonometrica in quanto nella funzione periodica ,

  =

f m 2

2

  2

1 r

Qualora si volesse prendere in considerazione un altro cerchio, ad es. di raggio ,

= =

OM r 2 2

la quadratura avverrebbe con l’equivalenza del quadrato di lato 2

 

π π

r r r

2 2

, 1 2 cos 1

. Infatti essendo l’area del cerchio ,

  π

= + − = + =

f m r m m m S 0 , r

2 2 2

  m m

2 2 2

 

r r

2

dall’uguaglianza 1

. si ottiene con semplici passaggi il valore di

  π =

+ = m

m 2

2

  π −

m

che sostituito nella permette di avere l’area del quadrato equivalente al cerchio