Si provi la seguente identità goniometrica
[math]\\sin ^2x-\\sin^2y=sen(x+y) sen(x-y)[/math]
Partiamo dal secondo membro per ricondirci al primo.
Sviluppiamolo usando le note formule
[math]\\sin (x+y) \\sin(x-y)=(\\sinx \\cosy + \\cosx \\siny) (\\sinx \\cosy - \\cosx \\siny)[/math]
Ora proseguiamo, calcolando il prodotto tra le parentesi [math]\\sin ^2 x \\cos^2 y -\\cos^2 x \\sin^2 y[/math]
Ora aggiungiamo e sottraiamo un termine misto, al fine di poter raccogliere. E' un trucchetto algebrico che spesso si usa quando si è in difficoltà. Questo termine misto è
[math]\\sin ^2 x \cdot \\sin^2 y[/math]
[math]\\sin ^2 x \\cos^2 y -\\cos^2 x \\sin^2 y +\\sin^2 x \\sin^2 y -\\sin^2 x \\sin^2 y =[/math]
[math]= \\sin ^2 x (\\cos^2 y + \\sin^2 y) - \\sin^2 y (\\cos^2 y + \\sin^2 y )[/math]
Rircordando che la somma del quadrato del seno e del quadrato del coseno è sempre [math]1[/math]
, perciò abbiamo ottenuto il primo membro. Per fare il termine misto abbiamo preso un elemento del primo addendo ( il
[math]\\sin ^2 x[/math]
da [math]\\sin ^2 x \\cos^2 y[/math]
) e uno dal secondo (il
[math]\\sin ^2 y[/math]
da [math]\\cos^2 x \\sin ^2 y[/math]
).
Se non si avesse pensato a sommare e sottrarre quel termine, potevamo procedere anche come segue
[math]\\sin ^2x\\cos^2y-\\sin^2y\\cos^2x=\\sin^2x(1-\\sin^2y)-\\sin^2y(1-\\sin^2x)=[/math]
[math]=\\sin ^2x-\\sin^2x\\sin^2y-\\sin^2y+\\sin^2x\\sin^2y=\\sin ^2x-\\sin^2y[/math]
FINE 
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