Trigonometria - Introduzione

FUNZIONI GONIOMETRICHE E BASI DI

TRIGONOMETRIA

April 23, 2010

Ci siamo accorti nello studio di sistuazioni fisiche e matematiche come la figura piana del tri-

angolo sia la base per costruire qualsiasi altro poligono regolare o meno (poligono si intende figure

piane geometriche aventi lati finiti, dove indica il numero di lati. Chiaramente è un numero

n n n

naturale finito (1, 2, 3, 4, ...) maggiore o uguale a 3. Non esiste infatti una figura piana delim-

itata da due lati soltanto (questa figura la chimiamo degenere)). In particolare si è visto come

un qualsiasi tringolo possa essere diviso in una o più aree delimitate da triangoli rettangoli. Per

esempio prendiamo un triangolo scaleno (il meno regolare), semplicemente tracciando un’altezza

(per comodità la tracciamo interna al triangolo) abbiamo che questo viene diviso in due triangoli

rettangoli aventi un lato e un angolo comune al triangolo di partenza. Come sappiamo un triangolo

rettangolo gode di alcune proprietà molto comode, ad esempio una di queste è data dal teorema di

Pitagora, che dice, (chiamando I l’ipotenusa, C1 un cateto e C2 l’altro cateto):

2 2 2

I = C1 + C2

Ossia che il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui

cateti. (Questo teorema è valido solamente per i triangoli rettangoli). Però nello studio della

geometria si è vista la necessità di dover calcolare anche angoli di questi triangoli. Per prima cosa

disegnamo un triangolo rettangolo su cui poter lavorare.

A questo punto sarebbe interessante conoscere gli angoli A tal scopo si introducono i

a, b, c.

rapporti:

, , .

BC AB BC

AC AC AB

Adesso dobbiamo dimostrare che per qualsiasi triangolo rettangolo avente come angoli interni

quel rapporto è costante.

a, b, c,

DIMOSTRAZIONE: Prendiamo due triangoli rettangoli aventi angoli interni uguali fra loro

(a , ecc.) con avendo indicato con ABC il primo triangolo e, A’B’C’, il secondo

! ! !

!

= a AB = A B

triangolo. Avremo che essendo gli angoli interni congruenti fra loro, i due triangoli sono simili. Per

definizione di similitudine di due triangoli avremo che i loro lati sono proporzionali ossia:

1