Intorno alla trigonometria della parabola

I C

E

p = 1

fi

g2

Nella fig.2 sono riportati la parabola e il cerchio trigonometrici.

4. Estensione ad un angolo che può superare 90° e definizioni delle funzioni paraboliche

La figura n. 3 viene riproposta anche per evidenziarne alcune particolarità

fig. 3

www.matematicamente.it 3

Tenendo presente la fig. 3 e per un p qualunque, si ripropongono le definizioni:

OP ρ

= (u ) (raggio vettore)

=

p ON VT y

PN = =

= tanp u

u=y u=x

sinp cosp

p p 2 x

p ⋅ − −

AD x OT OD

1 x 1 x

2

= secp u

=cotp u =cscp u=

= =

+ +

p x y p x p

2 x y

Ora, si daranno alcuni chiarimenti sul significato delle definizioni delle funzioni paraboliche e del

raggio vettore di cui sopra, partendo dalle funzioni paraboliche generalizzate.

( )

2

y p

= − + , avente per asse di simmetria l’asse x, il fuoco

Facendo riferimento alla parabola x p

2 2

coincidente con l’origine degli assi, la direttrice di equazione x=p e il vertice V(p/2,0), si indicano

( )

ρ u , sinp u, cosp u, tanp u, cotp u, secp u, cscp u il raggio vettore e le sei funzioni paraboliche

con

riferiti al parametro p=1, mentre gli stessi simboli soprassegnati, al pari dei relativi valori espressi

x , y indicano rispettivamente il raggio vettore e le funzioni chiamate generalizzate

in funzione di >

p 1 .

in relazione ad un parametro

Quindi, impostando il sistema tra l’equazione di cui sopra e quella della retta passante per l’origine

( )

=

degli assi y tan u x , sulla quale giace il segmento che è il raggio vettore, si ha:

OP

() )

(

⎧ 2 () ( )

y p ⎧ ( ) ()

2 − ± +

⎪ ⎪ = −

= − + 2

( ) p 1 1 tan u

y p p 2 x

x 2

− = =

2

⎨ ⎨

; cioè ; p p 2 x tan u x ; ,

x

p

2 2 ( ) 1

, 2

⎪⎩ 2

= tan u

⎪ y tan u x

( )

=

⎩ y tan u x )

(

− ± + 2

p u

1 1 tan

= . Per quanto detto sopra si ha

che sostituito nella seconda equazione dà y

1

, 2 u

tan

)

(

− ± + 2

p u

1 1 tan

= = ,

y u

sinp

1

, 2 u

tan −

⎡ ⎤

con se u è nel I e IV quadrante

⎢ ⎥ .

+

⎣ ⎦

con se u è nel II e III quadrante

)

(

− ± + 2

p 1 1 tan u

= =

x cosp u ,

e 1

, 2 2

tan u

Ora, applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OPN si ha

( ) ( ) ( )

2 2 2

= +

OP x y y

, nella quale sostituendo il valore di possiamo scrivere

( ) ( ) ( )

2 2 ρ

= + − = − = − =

2 .

OP x p 2 p x p x p x u

Quindi a seguire, facendo alcune considerazioni, si possono definire il raggio vettore e le sei

funzioni paraboliche:

( )

ρ

− − ( )

OP p x u p u

cosp ρ

= = = = − = − =

1 x 1 cosp u u ;

p p p p

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PN y sinp u ON x cosp u

= = = = = = = =

; ;

y sinp u x cosp u

p p p p p p =

VT OV PN ON

: :

per la similitudine dei triangoli rettangoli ONP e VOT si ha , cioè

p u

sinp

= =

u u u u , quindi

tanp : sinp : cosp ; tanp

2 u

2

cosp

VT y u u y

sinp tanp

= = = = = u

tanp ;

p p x

2

p x p u

2 2 cosp

Impostando e risolvendo il sistema delle equazioni delle rette sulle quali giacciono i segmenti

⎧ ⎛ ⎞

= − +

y x p p x p y

⎜ ⎟

⎨ , che con le

, si hanno le coordinate del punto D

, cioè

AD e OD ,

⎜ ⎟

= ⋅ + +

⎝ ⎠

⎩ x y x y

y 2 tanp u x 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

p y

p x

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ −

= p

coordinate di A(0, p) permettono di avere AD , che con semplici

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ +

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x y

x y

p 2 x p 2 cosp u

= = =

AD cotp u

passaggi dà , quindi

+ +

x y sinp u cosp u

AD cotp u 2 x

= = = cotp u ;

+

p p x y

per la similitudine dei triangoli rettangoli ONP e VOT si ha ( )

( ) −

p p p cosp u

− = =

= secp u : p cosp u : cosp u ; secp u

, cioè , quindi

: :

OT OP OV ON 2 2

cosp u

− −

secp 1

OT u p x x

= = = = secp u ;

2

p p x

2 x

infine, utilizzando le coordinate di D di cui sopra e quelle dell’origine O(0, 0) si può ottenere la

2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

p x p y

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= + da cui con semplici passaggi si ha

distanza ,

OD ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ +

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x y x y

− −

p ( p x ) p ( p cosp u )

= = =

OD cscp u , quindi

+ +

x y sinp cosp u

−

OD cscp u 1 x

= = = .

cscp u

+

p p x y >

p 1

Il raggio vettore, le funzioni paraboliche generalizzate ( ), l’area t(u,p) ed i rapporti delle

suddette funzioni con p che costituiscono le definizioni, possono essere calcolati, digitando in input

u in radianti e p, con un listato di programma in QBasic che sarà riportato in fondo all’Appendice di

questo lavoro.

Quanto sopra esposto permette di definire le funzioni paraboliche canoniche come segue:

il raggio vettore e le funzioni paraboliche relative ad un qualunque argomento in radianti, in gradi

sessagesimali o secondo il doppio dell’area del corrispondente settore parabolico costituiscono i

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rapporti dei relativi segmenti con il parametro p che è l’ascissa dei punti costituenti la retta direttrice

( )

2

y p

= − +

della parabola trigonometrica di equazione .

x 2 2

p

5. Relazioni tra l’angolo u di un settore parabolico e t che è il doppio dell’area dello stesso

settore ⎞

⎛

⎞

⎛ sinp t sinp t ⎟

⎜

⎟

⎜ =

= - 1 -

1

u tanp ⎟

⎜

⎟

⎜ tan ⎠

⎝

⎠

⎝ 2 cosp t cosp t ( )

⎡ ⎤

⎛ ⎞ − − 2

2

sinp u sinp u 1 cos u 1 cos u

⎜ ⎟

= ⋅ + = +

⎢ ⎥

t 1 1 .

⎜ ⎟ ⎢ ⎥

2

⎝ ⎠

2 3 2 sin u ⎣ ⎦

3 sin u

6. Definizione delle funzioni paraboliche relative all’area t

3 3

= + + + − +

2 2

sinp t 3t 9 1 3

t 9 1 ;

t t

[ ]

(

1 )

3 3

= + + + − +

2 2 2

cosp t 1 - ;

3t 9 1 3

t 9 1

t t

2

sinp t 2 cosp t

= =

tanp t cotp t

; ;

+

2cosp t sinp t cosp t

1 - cosp t 1 - cosp t

= =

secp t ; cscp t .

+

2cosp t sinp t cosp t

7. Alcune relazioni tra il raggio vettore, le funzioni paraboliche con le funzioni circolari

1

ρ =

( ) ;

u +

1 cos u −

sin u 1 cos u cos u tan u

= = = =

; ; ;

u u u

sinp cosp tanp

+

+

1 cos u sin u 1 cos u 2

⋅ ⋅ sec u

2 cot u 2 cos u =

= = ; secp ;

cotp u

u + + 2

1 cot u sin u cos u +

⎡ ⎤

u

se è nel quadrante I o III

csc u 1 csc u

= = ⎢ ⎥

cscp u con .

+ + ⎣ ⎦

u

- se è nel quadrante II o IV

± −

1 cot u sin u cos u 2

1 u 1

csc

8. Alcune relazioni tra le funzioni circolari e le paraboliche

=

sin u sinp u/(1-cosp u) ; cos u=cosp u/(1-cosp u) ; -cotp u)=cosp u/sinp u ;

tan u=2tanp u=sinp u/cosp u=sinp (2u) ; cot u=cotp u/( 2

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sec u=2 secp u=(1-cosp u)/cosp u ; csc u =2 secp u cscp u/(2 secp u-cscp u)=(1-cosp u)/sinp u .

9. Alcune relazioni tra le funzioni paraboliche ( ) ( )

ρ

ρ

2

2 2

+ + 2

sinp cosp u = 1 ; sinp cosp u = ; 1 - cosp u = ;

u u

u

u 2 ( ) ( )

( ) ρ ρ

2 + 2 2

tanp u=secp u ; sinp u= tanp u/secp u ; cosp u= /(2secp u)=1/(1+2secp u)

u u

1 2 2 2

tanp u=sinp u/(2cosp u) ; cotp u= /(1+2tanp u)= cosp u/(sinp u+cosp u);

( )

ρ 2

+

2

/(1-sinp u)= 1 4 tan p u /2 ;

secp u= u ( )

ρ

cscp u=2cosp u secp u/(sinp u+cosp u)= /(sinp u+cosp u).

u

10. Funzioni paraboliche di argomenti negativi

( ) ( ) ( )

− = − − = − = −

sinp sinp u ; cosp cosp u ; tanp tanp u ;

u u u

( ) ( )

−

− = − − =

2 2 2

cotp u/( cotp u) ; secp secp u ;

cotp u u

( )

− = −

cscp secp u cscp u/(secp u-cscp u).

u

11. Segni e variazioni delle funzioni paraboliche

Quadrante I II III IV

Funzioni − −

+ +

u

sinp ∞

+ ∞ da - a - 1 da - 1 a 0

da 0 a 1 da 1 a

− −

+ +

cosp u ∞ ∞

da 0 a - da - a 0 da 0 a 1/2

da 1/2 a 0 − −

+

+

tanp u − ∞ ∞

+ ∞

+ ∞ da a 0 da - a 0

da 0 a

da 0 a

+ +

∓ ∓

cotp u ∞ ∞

∓ ∓

da 0 a da 0 a

da 2 a 0 da 2 a 0

a 2 a 2

− −

+ +

secp u ∞ ∞

+ ∞ + ∞

da - 1/2 a -

da - a - 1/2

da 1/2 a da a 1/2

−

+ ± ∓

u

cscp ± ∞ ∞

∓

da 1 a da - 1 a - 2 / 2 da - 1 a

da 1 a 2 / 2 a - 1 a - 1 a 1

a 1

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12.VALORI ESATTI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE PER ARGOMENTI SPECIALI

1^ Tabella

Angolo Angolo

u u

in gradi sinp cosp tanp

in radianti Area t

sessagesimali

0 0 0 0 0

1

2

30 − − 1

1 1

π 2 3 2 3 3

− 3

(

16 9 3 ) 6

3

6

45 − −

1

1 1

π 2 1 2 1

−

( 4 2 5

)

3 2

4

60 5 1 1

1

1 π 3 3 3

3

3 2

27

3 ±∞

1 0

90 1 2

π 3

2 -1

120 2 1

π 3 3 − 3

2

3

135 + − +

3 1

1 2 1 ( 2 1

)

π −

+

( 4 2 5

)

3

4 2

150 + − +

1 1

5 π 2 3 ( 2 3 3

)

+ −

(

16 9 3 ) 3

3 6

6

π ±∞ ±∞ −∞ 0

180

210 1

− + − +

7 1

π ( 2 3 ) ( 2 3 3

)

− +

(

16 9 3 ) 3

3

6 6

225 − + − +

5 1

1

π ( 2 1

) ( 2 1

)

− +

( 4 2 5

)

3

4 2

-1

240 − −

4 1

π 3 3 3

2

3 ±∞

270 -1 0

3 2

π −