Trigonometria: definizioni principali e formule goniometriche più utilizzate

In quest'appunto troverai delle nozioni importanti relative all'ambito della trigonometria, con un elenco commentato delle formule più utilizzate in ambito scolastico.

Che cos'è la trigonometria e cosa studia

La trigonometria è una branca della matematica che studia la relazione tra la proprietà dei triangoli e l'ampiezza dei loro angoli. Attraverso l'utilizzo di alcune funzioni è infatti possibile correlare gli elementi principali di un triangolo ad altre misure. Quest'approccio è utile anche per risolvere altre tipologie di poligoni, scomponibili in triangoli (come ad esempio i quadrati). Tali funzioni possono essere presenti in equazioni e disequazioni definite goniometriche. I teoremi, le formule e le proprietà che verranno enunciate nei prossimi paragrafi possono essere sfruttate per velocizzare la risoluzione di queste ultime.

Le principali funzioni trigonometriche, formule dirette e inverse

Come abbiamo già anticipato, le funzioni trigonometriche servono a sancire una relazione tra alcuni elementi del triangolo e l'ampiezza dei suoi angoli. In particolare, le funzioni utilizzate per fare ciò sono:

• la funzione seno (
  [math]sen(\alpha)[/math]
  ). Essa è definita nel dominio
  [math]R[/math]
  mentre il codominio è ristretto all'intervallo chiuso
  [math][-1,1][/math]
  . Essa è una funzione periodica (periodo
  [math]2 \pi[/math]
  ).
• la funzione coseno (
  [math]cos(\alpha)[/math]
  ). Presenta lo stesso codominio, dominio e periodo della funzione seno. A parità di angoli le due funzioni comportano risultati diversi: in particolare, il coseno risulta sfasato in anticipo di un angolo retto rispetto alla funzione seno. Quest'aspetto può essere evidenziato osservando quando le due funzioni assumono il valore massimo: il coseno, infatti, assume valore massimo quando
  [math]x=0[/math]
  mentre la funzione seno assume valore massimo quando
  [math]x=\frac{\pi}{2}[/math]
• la funzione tangente (
  [math]\frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}[/math]
  ), che corrisponde al rapporto tra la funzione seno e la funzione coseno (
  [math]tg(\alpha)=\frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}[/math]
  . Essendo un rapporto, essa è definita nel dominio che consente la presenza di un denominatore non nullo. In questo caso il dominio è
  [math]x\neq 90+k\pi[/math]
  , mentre il codominio è l'insieme dei numeri reali, poiché la tangente può assumere qualsiasi valore
• la funzione cotangente
  [math]\frac{1}{tg(\alpha)}[/math]
  che è pari all'inverso della tangente
• la funzione secante
  [math]\frac{1}{cos(\alpha)}[/math]
  , ossia l'inverso del coseno
• la funzione cosecante
  [math]\frac{1}{sen(\alpha)}[/math]
  , ossia l'inverso del seno

Le formule di addizione, sottrazione, duplicazione e bisezione

Le formule di addizione, sottrazione, duplicazione e bisezione sono utilissime per semplificare i calcoli relativi a equazioni e disequazioni trigonometriche.

Le formule di addizione e sottrazione

Le formule di addizione e sottrazione possono essere utilizzate per le funzioni seno, coseno e tangente. Le prime aiutano a semplificare la scrittura delle funzioni trigonometriche cui argomento è rappresentato da una somma di angoli, le seconde da una differenza tra angoli. Per il coseno possiamo scrivere che . Per ottenere la formula dell'addizione basta considerare al posto di la quantità . Così facendo, la formula diventa . Per quanto riguarda, invece, le formule relative alla funzione seno, esse risultano rispettivamente e . Le formule relative alla funzione tangente, invece, sono e .

Le formule di duplicazione e bisezione

Le formule di duplicazione consentono di calcolare il seno, il coseno e la tangente del doppio di un angolo. In particolare, questa formula risulta per il seno, per il coseno e . Al contrario, le formule di bisezione permettono di calcolare il seno, il coseno e la tangente della metà di un angolo. Tali formule risultano rispettivamente per le funzioni seno, coseno e tangente:

Gli archi associati e la relazione fondamentale della goniometria

Gli archi associati e la relazione fondamentale della goniometria rappresentano un supporto fondamentale per la risoluzione di equazioni e disequazioni. In particolare gli archi associati permettono di sancire delle relazioni tra le funzioni trigonometria fondamentali e alcune funzioni trigonometriche dall'argomento notevole. La relazione fondamentale della goniometria (e le sue applicazioni) consentono invece di scrivere le funzioni goniometriche fondamentali utilizzando il quadrato e la forma lineare di altre funzioni trigonometriche.

La lista degli archi associati

Gli archi associati possono essere suddivisi per sottogruppi. Tale approccio ne favorisce anche la memorizzazione:

• gli angoli complementari, come
  [math]sen(\frac{\pi}{2}-\alpha)=cos(\alpha)[/math]
• gli angoli cui differenza è un angolo retto, come
  [math]sen(\frac{\pi}{2}+\alpha)=cos(\alpha)[/math]
• gli angoli che presentano il termine
  [math]\frac{3\pi}{2}-\alpha[/math]
  , come
  [math] sen(\frac{3\pi}{2}-\alpha)=-cos(\alpha)[/math]
• gli angoli che presentano il termine
  [math]\frac{3\pi}{2}+\alpha[/math]
  , come
  [math]sen(\frac{3\pi}{2}+\alpha)=-cos(\alpha)[/math]
• gli angoli che differiscono di un angolo piatto, come
  [math]sen(\pi+\alpha)=-sen(\alpha)[/math]
• gli angoli supplementari, come
  [math]sen(\pi-\alpha)=sen(\alpha)[/math]
• gli angoli esplementari, come
  [math]sen(2\pi-\alpha)=-sen(\alpha)[/math]
• gli angoli opposti, come
  [math]sen(-\alpha)=-sen(\alpha)[/math]

L'elenco completo degli archi associati può essere consultato nel file in allegato.

La lista delle espressioni goniometriche in funzione delle altre funzioni

Il teorema fondamentale della goniometria afferma che la somma dei quadrati della funzione coseno e della funzione seno è unitaria. Da ciò è possibile ricavare, ad esempio, le seguenti formule: , . L'elenco completo delle espressioni relative alle funzioni goniometriche può essere consultato nel file in allegato. Per ulteriori approfondimenti sulla trigonometria vedi anche qui