Teoria di Cantor

In questo appunto si analizza la teoria del matematico Georg Cantor attraverso alcuni semplici esempi.

Il punto di partenza di tale teoria sono gli insiemi infiniti, cioè quegli insiemi che hanno un numero infinito di elementi. Ad esempio la retta è formata da infiniti segmenti. L'insieme dei segmenti di una retta è dunque infinito.

Anche i numeri rappresentano insiemi infiniti. Esistono vari insiemi di numeri, alcuni dei quali sottoinsiemi di altri: naturali, razionali, irrazionali, reali...
Ricordiamo che i numeri reali sono formati dall'insieme dei numeri razionali e quello dei numeri irrazionali (sono numeri come

o , ossia qualsiasi numero che non si possa ottenere e rappresentare come quoziente di numeri interi).
Senza dubbio, quello dei numeri reali non è solo un insieme infinito, ma è anche innumerabile (un insieme è numerabile se i suoi elementi sono in numero finito, oppure se si può stabilire una corrispondenza biunivoca con la serie dei numeri naturali ).

Cantor impostò allora la seguente questione: tra gli insiemi infiniti alcuni hanno la stessa cardinalità (e quindi sono equipotenti, cioè hanno lo stesso numero di elementi), come l'insieme dei numeri naturali, i numeri pari o razionali.
Esistono poi insiemi, come quello dei numeri reali, che sono ugualmente infiniti, ma che "sembrano" avere più elementi dei tre precedenti.
A questo punto Cantor si avventurò allora in una delle idee più rivoluzionari della storia della matematica: tutti gli infiniti sono uguali o ce ne sono di più grandi e più piccoli?

Come punto di partenza aveva un infinito, quello dei numeri naturali.
Cantor riconobbe che l'insieme

dei reali non è numerabile (più che numerabile) e che contiene quindi più elementi di . Pertanto è un insieme più grande di quello dei numeri naturali e dei numeri razionali. Decise di chiamare aleph-uno, col simbolo , la cardinalità (cioè il numero di elementi) di . A partire da questo momento era nata la matematica del transfinito.

Allo stesso modo,

è dunque anche il numero di punti che ci sono in qualsiasi segmento di retta.
Questo posta anche alla conclusione che due segmenti, indipendentemente dalla loro dimensione, hanno lo stesso numero di punti. Questo può sembrare sorprendente, ma la dimostrazione è molto semplice:

Dati due segmenti

e , per stabilire una corrispondenza uno a uno tra ciascuno dei loro punti basta procedere nel seguente modo: si uniscono gli estremi di entrambi i segmenti mediante due rette e , che si taglieranno in un punto .

Dato un punto

qualsiasi del segmento , lo si unisce al punto , intersezione delle rette e .
Il punto nel quale viene tagliato il segmento è il punto corrispndente cercato. È chiaro che in questo modo per ciascun punto del segmento otterremo un punto del segmento e viceversa. Questo prova che il numero dei punti contenuti in entrambi i segmenti è lo stesso.

Sulla base di queste teorie, Cantor riesce ad arrivare ad ulteriori dimostrazioni. Prendiamo il quadrato ottenuto a partire da un qualsiasi segmento.

Cantor riesce a dimostrare che anche il numero dei punti contenuti nel quadrato è un insieme la cui cardinalità è

, ossia il numero dei punti contenuti nel quadrato è lo stesso che c’è in uno qualsiasi dei suoi lati.

Cantor fa ancora un altro passo e, col quadrato come base, costruisce un cubo.

Di nuovo Cantor dimostra che anche il numero dei punti contenuti nel cubo è

.