Oggi analizzeremo la teoria di Galois, con la relativa spiegazione del teorema. Ricordiamo che il risultato fondamentale di Galois, ossia la sua teoria enuncia che:
Un'equazione è solubile se, e soltanto se, il suo gruppo di Galois è solubile, intendendo per equazione solubile quella che si può risolvere con operazioni elementari che coinvolgono i radicali.
La dimostrazione di questo bell'enunciato non è elementare e richiede cento pagine per essere seguita con calma e senza fatica; almeno questo è quanto costò a Emil Artin, grande Matematico e divulgatore, autore di un libro, Galois Theory, che ha seguito un'epoca.
Ci sono equazioni che hanno come gruppo di Galois il quinto dei gruppi simmetrici,
e quando formiamo i gruppi quoziente richiesti,
A_{5}/\{n\} \cong A_{5}[/math]
si ha che, in maniera quasi perversa, non è abeliano. Pertanto, non esiste alcuna serie come quelle richieste dal teorema fondamentale, e quindi
Anche se il testo di Artin è un classico, la cosiddetta teoria di Galois oggi è impostata in termini più astratti e generali, ed è dunque applicabile a molti altri campi più vasti rispetto alla semplice considerazione delle equazioni. Oggi non si richiede come presupposto di avere coefficienti razionali, e si lavora in un corpo
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