Il numero aureo e i suoi derivati: perimetri, aree e serie infinite nelle figure geometriche

QUESTI SONO CALCOLATI ANCHE CON I RAPPORTI DEI N.RI DI FIBONACCI(F) E GLI STESSI

DATI DALLA FORMULA DI BINET(B)

∞

AL TENDERE DI N AD ,CIOE' F(N-1)/ F(N) = B(N - 1) / B(N) = NA E F(N)/F(N-1)=B(N)/B(N-

1)=SA.

DIGITA QUANTI N.RI di FIBONACCI VUOI(per una buona approssimazione dei rapporti se ne consi-

gliano 20 o più) ? 20

I N.RI DI FIBONACCI SONO:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

NA=Numero aureo=F( 18 )/F( 19 )= .6180339

NA=Numero aureo=B( 18 )/B( 19 )= .618034

SA=Sezione aurea=F( 19 )/F( 18 )= 1.618034

SA=Sezione aurea=B( 19 )/B( 18 )= 1.618034

LA NOTEVOLE EQUAZIONE E' DATA DA 1+NA=1/NA, CIOE': 1.618034 circa= 1.618034 circa( CON

FIBONACCI)

1.618034 circa= 1.618034 circa (CON BINET)

Essendo il valore assoluto della seconda radice dell'equazione

X2=(-1)*(-SQR(5)-1)/2=1.61803398...

che è proprio la sezione aurea o rapporto aureo.

3. Due teoremi sulle progressioni auree, le serie auree ϕ = 0,6180339…, la

3.1 Teorema: Di una progressione geometrica, la cui ragione sia il numero aureo

a a

somma infinita dei suoi termini , a partire da uno qualunque di essi , è uguale al valore del termi-

i k

Convegno Nazionale “L’insegnamento della matematica nel quadro delle riforme” 68

Santa Cesarea (LE) 28 set. 2 ott. 2003

Il numero aureo ed i suoi sviluppi Guido CAROLLA

∞

∑ =

a a

ne che precede di due posti quello di partenza, cioè : tra di esse, dicesi aurea quella che

−

i k 2

=

i k

ϕ ϕ

+

1 , 1 , .

ha i tre termini centrali

3.2 Teorema: Considerata la progressione aurea del teorema 1.1 e prolungando la stessa indefinita-

a a

che a sinistra , invertendone l’ordine dei ter-

mente con l’aggiunta di altri termini, sia a destra −

i i

=

a 1 , si ha una progressione geometrica aurea crescente i

mini, facendo coincidere quello centrale 0

cui termini e la ragione sono rispettivamente i corrispondenti reciproci della prima e viceversa, cioè si

1

∀ ∈ → = a

n N

ha .

∓ n

a ± n

Dimostrazione del teorema 3.1: Essendo noto che in una progressione geometrica decrescente, i cui

a

termini indicheremo con e la ragione q è -1<q<1, la somma infinita dei termini a partire da un qua-

i

a a

∞

∑

= =

S a

a k

k

è , nel caso della progressione aurea, per quanto detto sarà , cioè

lunque ϕ

∞ − −

i

k 1 q 1

=

i k

1 ϕ

⋅ = 0

,

6180339

...

a , per la peculiarità del numero aureo che è , avremo

ϕ

−

k 1 1

1 1

1 ϕ

= = = +

2

,

6180339

... 2

, quindi potremo scrivere o , sostituendo a se-

ϕ

ϕ ϕ ϕ

− − −

2

1 1

1

guire questi due valori nella formula iniziale ed operando con semplici passaggi si han-

a a

∞ = = =

k k

∑ a a

no: , oppure

−

i k 2

ϕ ϕ

− 2

1

=

i k a

∞ ( )

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

∑ = = ⋅ + = + = + ⋅ =

2 2

a 2 2

a a 2

a a

a k

ϕ − −

−

i k k k k 2 k 2

1

=

i k [ ]

( ) ( ) ( )

ϕ ϕ

= + = + =

2 3

2 3

a 2 a 2 0

,

6180339

... 0

,

6180339

...

− −

k 2 k 2

( )

= + = ⋅ =

a 0

,

7639318 ... 0

, 236068 ... a 1 a c. v. d. .

− − −

k 2 k 2 k 2 ϕ

+

1

Dimostrazione del teorema 3.2: Essendo data la progressione geometrica aurea decrescente ,

ϕ ϕ < 1

, la cui ragione positiva è , sarà sempre possibile prolungarla a sinistra e a destra indefini-

1,

tamente con l’aggiunta di altri termini, di cui facilmente ne calcoleremo alcuni con una formula genera-

le che riporteremo avanti:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

+ + + + + − − − − ,

..., 5 8 , 3 5 , 2 3 , 2 , 1 ,

1

, , 1 , 2 1 , 2 3 , 5 3 ,...

..., , , , , , , , , , , ,...

a a a a a a a a a a a

i quali termini indicheremo rispettivamente con − − − − −

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

ϕ

∀ ∈ → = ± = ∓ n

n N a a a .

il cui calcolo si è fatto con la seguente formula: ± ±

∓ ∓ ∓

n n n

2 1

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=

a 1

Ora, facciamo coincidere il termine centrale e invertiamo l’ordine degli stessi

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

− − − − + + + + + , avremo così la progres-

..., 5 3 , 2 3 , 2 1 , 1 , ,

1

, 1 , 2 , 2 3 , 3 5 , 5 8 ,...

ϕ

+

1 , per cui per dimostrare che partendo dal termine 1 i reciproci

sione crescente aurea di ragione 1

∀ ∈ → =

n N a

dei termini a destra sono rispettivamente uguali ai termini alla sinistra di 1, cioè ∓ n

a ± n

, basterà scrivere la progressione geometrica aurea decrescente con i suoi valori equivalenti e cioè

1 1 1 1 1 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

2 3 4 5

..., , , , , ,

1

, , , , , ,... , dalla quale si rileva chiaramente che

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

5 4 3 2 1

1 1

∀ ∈ → = ∀ ∈ → =

n N

n N a

, cioè proprio quanto detto nell’enunciato del teorema

ϕ ϕ ∓ n

n n a ± n

c. v. d. .

3.3 Serie auree

Riportiamo la serie aurea decrescente come somme di potenze del numero aureo con i relativi valori

ottenuti applicando i teoremi 3.1 e 3.2:

1 1

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

+ + + + = + = = + + + =

2 3 2 3

1 ... 2 ; ...

ϕ ϕ

−

1

2

1

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= + = + + + = + + + =

2 3 4 3 4 5

1 ; ... 1

; ... ;

ϕ 1

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

− + − + − = =

2 3 4

1 ... ; riportiamo ora alcuni sviluppi di serie esponenziali e logaritmi-

ϕ

+

1 ϕ = 0,6180339…:

che, che soddisfano per il valore di

 

3 5 ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

   

− − −  

  9 15

1 1 1 1 1 ϕ

ϕ    

= + + + = = − + + + = −

 

3

ln( ) 2 ... 2 ... 0

, 4812119

...

  ;

   

ϕ ϕ ϕ

+ + +

1 3 1 5 1 3 5

   

   

2 3

ϕ ϕ ϕ

   

− − −

1 1 1 1 1

ϕ    

= + + + =

ln( ) ...

   

ϕ ϕ ϕ

2 3

   

ϕ ϕ ϕ

2 3 4

ϕ

= − + − + − = −

... 0

, 4812119 ... ;

2 3 4

( )

ϕ

+    

ln 1 1 1 1

ϕ ϕ ϕ

= − + + + + − =



  

2 3

1 1 ...

ϕ

+

1 2 2 3

   

3 11 25

ϕ ϕ ϕ ϕ

= − + − + =

2 3 4 ... 0

, 2974052

...

2 6 12

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Riportiamo anche alcuni sviluppi di serie esponenziali e logaritmiche che soddisfano per il valore di

ϕ

1+ =1,6180339…:

( ) ( )

ϕ ϕ

+ +

2 3

1 1

ϕ

= + + + + =

ϕ

+

1

e 2 ...

2

! 3

!

1 1 1

= + + + + =

1 ... 5

,

04316

...;

ϕ ϕ ϕ

⋅ ⋅

2

! 3

!

2 3 [ ] [ ]

( ) ( )

ϕ ϕ

+ +

2 3

1 ln(

a ) 1 ln(

a )

( )

ϕ

= = + + + + + =

ϕ ϕ

+ +

1 (

1 ) ln( a )

a e 1 1 ln(

a ) ...

2

! 3

!

( ) ( )

2 3

ln(

a ) ln(

a ) ln(

a )

= + + + + ...;

1 ϕ ϕ ϕ

⋅ ⋅

2

! 3

!

2 3

 

3 5

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

     

  9 15

1 1

( )

ϕ ϕ

   

+ = + + + = = + + + =

 

3

ln 1 2 ... 2 ... 0

, 4812119

...;

 

   

ϕ ϕ ϕ

+ + +

2 3 2 5 2 3 5

   

   

2 3

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

   

1 1 4 6

( )

ϕ ϕ

   

+ = + + + = = + + + =

ln 1 ... ... 0

, 4812119 ....

2

   

ϕ ϕ ϕ

+ + +

1 2 1 3 1 2 3

   

Dall’osservazione di alcuni dei suddetti sviluppi si possono notare delle ricorrenti equivalenze, inoltre,

ϕ ϕ

proprio dalla somma del terzo sviluppo soddisfatto per il valore di con l’ultimo soddisfatto per 1+ ,

riportati sopra, si ha:

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

 

2 3 4 4 6

1

ϕ ϕ ϕ

+ = − + − + + + + + =

 

2

ln (

1 ) ... ...

2 2 3 4 2 3

 

ϕ ϕ

 

2 3

1 ϕ

= + + + =

 

... 0

, 4812119

... .

2 2 3

 

Gli sviluppi in serie sono stati ricavati con semplici passaggi dalla teoria generale delle serie esponen-

ziali, logaritmiche e dalle relazioni equivalenti tra i valori dei “termini” evidenziate nella dimostrazione

del teorema 3.2. π ϕ ϕ ϕ

, e

, ,

, sin cosp

3.4 Nota su alcuni esempi di algoritmi comprendenti

Allo scopo di una semplice curiosità teorica dalla progressione geometrica decrescente che ha un

ϕ

π .

e

termine uguale a , la ragione 1- , abbiamo ricavato la somma infinita dei termini, a partire dallo

π ⋅ e , che è

stesso

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π π π

⋅ ⋅ ⋅ e

e e ϕ π ϕ

= = = = ⋅ ⋅

S e

S , invece con la ragione - avremo ; infine, con i due

ϕ

ϕ ϕ

∞ ∞

− − − −

1 ( )

1 (

1 ) ( )

π ϕ

n 2 n

2 sin n 4

ϕ ϕ ϕ

= + + + + =

ϕ 2

e sin ... ... 1

, 075012 ... ,

seguenti sviluppi n

!

π ϕ

ϕ

ϕ n 2 n

2 cos p ( n 4 )

e cos p ( ) ϕ

= + + + + =

1 ... ..