Appunti di probabilità per Sociologia

DEFINIZIONE

Si dice disposizione con ripetizione di classe k ogni allineamento di k oggetti scelti fra gli n dati, in modo

che uno stesso oggetto possa essere ripetuto più volte.

ESEMPIO

Alcune delle parole di 5 lettere che si possono formare con le 21 lettere dell’alfabeto

aaaaa ababa amore cuore

PROPOSZIONE

Il numero delle disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe k è

= k

D ' n

,

n k

ESEMPIO = 5

D ' 21

Tutte le parole di 5 lettere che si possono formare con le 21 lettere sono 21,5

DEFINIZIONE

Si dice combinazione con ripetizione di classe k ogni raggruppamento di k oggetti scelti fra gli n dati, in

modo che uno stesso oggetto si possa essere preso più volte.

PROPOSZIONE

Il numero delle combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k è dato da

+ −

 

n k 1

=

C '  

n , k k

 

DEFINIZIONE

Si dicono permutazioni di n elementi tutti i possibili allineamenti che si possono ottenere scambiando di

posto gli n oggetti. Esse coincidono con le disposizioni semplici di n elementi di classe n.

= =

P D n !

n n , n

PROPOSZIONE

Il numero di permutazioni di n oggetti di cui h sono uguali fra loro, k sono uguali fra loro e distinti dai

precedenti è n !

=

*,

P ,

n h k ⋅

! !

h k

ESEMPIO

Quanti anagrammi si possono formare con la parola MATEMATICA

10!

=

P *

10,2,3,2 ⋅ ⋅

2! 3! 2!

A. Bernardo Appunti di Calcolo delle Probabilità per il corso di 30/12/2005

Modelli matematici per le scienze sociali 3

Calcolo delle probabilità

Definizione classica

La probabilità di un evento è data dal rapporto fra il numero f dei casi favorevoli al verificarsi dell’evento e

il numero n degli eventi possibili, equiprobabili f

( ) =

P E .

n

Definizione statistica o frequentista

Per valutare la probabilità di un evento si calcola la frequenza relativa osservata su un numero,

possibilmente grande), di eventi quanto più possibile analoghi a quello che interessa e si utilizza tale valore

come probabilità.

Valutazione soggettiva

La probabilità di un evento E è rappresentata dal rapporto fra il prezzo P che un individuo ritiene giusto

pagare e la somma S che ha diritto ad avere in cambio se l’evento si verifica.

P

( ) =

P E .

S

La persona che accetta di pagare P per ricevere S deve essere disposto a ricevere P pagando S.

Teoria assiomatica Ω , detto spazio campionario.

L’insieme di tutti i risultati possibili si indica con Ω .

Un qualsiasi evento può essere visto come un sottoinsieme di

φ

Ω e possono essere visti come eventi, il primo corrisponde all’evento certo, il secondo all’evento

impossibile.

⊆

A B

Se si dice che l’evento A implica l’evento B.

A , l’insieme complementare di A, è la negazione dell’evento A, è vero quando A è falso e viceversa è falso

quando A è vero.

= ∩

C A B è l’evento che si verifica se si verifica sia l’evento A sia l’evento B, ossia è vero se sono veri A e

B. = ∪

D A B è l’evento che si verifica se si verifica almeno uno dei due eventi A o B, ossia è vero se almeno

uno tra A e B è vero.

φ

∩ =

A B

Se i due eventi si dicono incompatibili, ossia se il verificarsi di uno esclude il verificarsi

dell’altro.

DEFINIZIONE Ω Ω

, un insieme I di sottoinsiemi di , si dice algebra se

Dato uno spazio campionario

Ω ∈ I

1) ∈ → ∈

A I A I

2) ∈ → ∪ ∈

A

, B I A B I

3)

DEFINIZIONE [ ]

→

: 0,1

P I tale che

La probabilità è una funzione

( )

Ω =

P 1

1) ( ) ( ) ( )

φ

∀ ∈ ∩ = ∪ = +

A

, B I tali che A B si ha P A B P A P B

2)

A. Bernardo Appunti di Calcolo delle Probabilità per il corso di 30/12/2005

Modelli matematici per le scienze sociali 4

Teorema della probabilità contraria

Dato un evento E di probabilità p, la probabilità dell’evento contrario di E è 1-p:

( ) ( )

= −

1

P E P E

Teorema

La probabilità dell’evento impossibile è 0 ( )

φ = 0

P

Teorema delle probabilità totali

( ) ( ) ( ) ( )

∪ = + − ∩

P A B P A P B P A B

ESEMPIO

Su 100 pezzi prodotti da una macchina, 10 sono stati controllati dal controllore A e 12 dal controllore B,

fra questi 3 pezzi sono stati controllati da A e da B. Qual è la probabilità che, scegliendo a caso un pezzo,

questo sia stato controllato?

E = “pezzo controllato”

10 12 3 23

( ) = + − = =

P E 23% .

100 100 100 100

DEFINIZIONE

Dati due eventi si dice probabilità condizionata di B rispetto ad A la probabilità che si verifichi B

supposto che si sia già verificato A. ( )

∩

P A B

( ) =

P B / A ( )

P A

ESEMPIO

Da un mazzo di 40 carte viene estratta una carta di denari. Qual è la probabilità che sia anche asso?

A = “la carta estratta è asso”

D = “la carta estratta è denari”

1

( ) =

P A / D 10

DEFINIZIONE

Due eventi A e B si dicono indipendenti se il verificarsi di uno non influenza il verificarsi dell’altro.

Teorema della probabilità composta

Dati due eventi A e B si ha che ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∩ = ⋅ = ⋅

/ /

P A B P A P B A P B P A B

Nel caso di eventi indipendenti ( ) ( ) ( )

∩ = ⋅

P A B P A P B

A. Bernardo Appunti di Calcolo delle Probabilità per il corso di 30/12/2005

Modelli matematici per le scienze sociali 5

Teorema di Bayes Ω

Dati uno spazio campionario , una sua partizione in sottoinsiemi A , A , A , …, A che chiamiamo

1 2 3 n

‘cause’, un evento B non impossibile che chiamiamo effetto, la probabilità che l’evento B sia stato prodotto

è

dalla causa A i ( ) ( )

⋅

P B / A P A

( ) = i i

P A / B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i ⋅ + ⋅ + + ⋅

P B / A P A P B / A P A ... P B / A P A

1 1 2 2 n n

ESEMPI

1. La produzione industriale di biscotti è legata a tre forni, F1, F2, F3. Di ognuna si conosce la probabilità P di produrre

Fi

biscotti bruciati: =0.05 P =0.02 P =0.07.

P

F1 F2 F3

Per produrre una scatola di 1000 biscotti si sono utilizzate tutti e tre i forni; in particolare F1 ha prodotto 350 biscotti, F2

ne ha prodotti 520, F3 ne ha prodotti 130.

Calcola la probabilità che scegliendo a caso un biscotto fra i 1000 prodotti e vedendo che è bruciato, esso sia stato cotto nel

forno F1. Calcola la probabilità che, avendo riscontrato che il pezzo è buono, esso sia stato prodotto da F1.

A1 = “il pezzo è stato prodotto da F1”

A2 = “il pezzo è stato prodotto da F2”

A3 = “il pezzo è stato prodotto da F3”

B = “il pezzo è difettoso”

P(A1)=350/1000=0.35 P(A2)=250/1000=0.25 P(A3)=130/1000=0,13

=0.05 P(B/A2)=P =0.02 P(B/A3)=P =0.07

P(B/A1)=P

A1 A2 A3

( ) ( )

⋅

P B / A

1 P A

1

( ) =

P A

1/ B 47%

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅ + ⋅ + ⋅

P B / A

1 P A

1 P B / A

2 P A

2 P B / A

3 P A

3

( ) ( )

⋅

P B A P A

/ 1 1

( ) =

P A B

1/ 35%

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

⋅ + ⋅ + ⋅

P B A P A P B A P A P B A P A

/ 1 1 / 2 2 / 3 3

2. In un esperimento si deve verificare una certa ipotesi. Si è invece trovato un risultato che sembra confutare questa ipotesi. Il

risultato negativo dell’esperimento può essere dovuto a due fattori:

1) errori di procedura

2) ipotesi teoriche errate

Si stima che gli errori di procedura ricorrano con frequenza doppia rispetto agli errori nelle ipotesi.

Si stima, da ricerche precedenti, che gli strumenti utilizzati sono inaffidabili al 15%, l’equipe di ricercatori fa ipotesi errate al

30%.

Calcola la probabilità che il fallimento dell’esperimento sia imputabile alle ipotesi errate.

A1 = “nell’esperimento ci sono errori di procedura”

A2 = “nell’esperimento ci sono ipotesi errate”

B = “l’esperimento è fallito”

P(A1)=0.66 P(A2)=0.33 P(B/A1)=0.15 P(B/A2)=0.30

( ) ( )

⋅

P B / A 2 P A

2

( ) = =

P A

2 / B 50%

( ) ( ) ( ) ( )

⋅ + ⋅

P B / A

1 P A

1 P B / A

2 P A

2

A. Bernardo Appunti di Calcolo delle Probabilità per il corso di 30/12/2005

Modelli matematici per le scienze sociali 6

3. Uno dei celebri problemi del Cavaliere de Méré (1610-1685) presentati al suo amico Blaise Pascal è il seguente: giocando

a dadi è più probabile ottenere almeno una volta 6 con 4 lanci di un dado oppure almeno un doppio 6 con 24 lanci di due

dadi?

E = “ottenere almeno una volta 6 con quattro lanci di un dado”

E = “non ottenere mai 6 con quattro lanci di un dado” 4

( )

( )  

5 5 5 5 5

( )

= ⋅ ⋅ ⋅ = − = − =

P E P E 1 P E 1 51, 77%

 

6 6 6 6 6

 

E = “ottenere almeno un doppio 6 con 24 lanci di due dadi”

E = “non ottenere mai un doppio 6 con 24 lanci di due dadi”

E1 = “non ottenere mai un doppio 6 con 1 lancio di due dadi”

24 24

( )    

35 35

35 ( )

( ) = = − =

= P E P E 1 49%

P E

1   

36 36

36    

4. Tre scatole A, B, C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica, alcune di queste lampade sono difettose.

A contiene 2000 lampade con il 5% difettose

B contiene 500 lampade con il 20% difettose

C contiene 1000 lampade con il 10% difettose

Si sceglie a caso una scatola e si estrae a caso una lampada. Qual è la probabilità che essa sia difettosa?

A = “la lampada è stata estratta dalla scatola A”

B = “la lampada è stata estratta dalla scatola B”

C = “la lampada è stata estratta dalla scatola C”

D = “la lampada è difettosa” 1 1 1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

P D P D / A P A P D / B P B P D / C P C 11.67%

20 3 5 3 10 3

5. A un esame il professore sceglie 10 domande tra le 20 che ha preparato. Lo st