La nascita della teoria delle probabilità

Conati Giulia

Liceo della comunicazione – classe 5^ sociale

Istituto “Seghetti” - Verona

a.s. 2008-2009

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Indice

I primi passi Pag. 3

Pascal e Fermat Pag. 4

La lettera di Pascal Pag. 6

Dalle sale da gioco alla realtà quotidiana Pag. 9

Ma quando decidiamo? Pag. 12

Bibliografia Pag. 15

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Lunedì 24 agosto 1654 un celebre matematico francese scrisse una lettera che contava meno di tremila parole, ma che avrebbe cambiato per sempre la vita dell’umanità: per la prima volta veniva infatti esposto un metodo che permetteva all’uomo di “predire” il futuro.

Prima di allora, il domani era considerato qualcosa di completamente imprevedibile, al di fuori di ogni possibilità di controllo. Oggi invece siamo in grado di calcolare le probabilità del verificarsi di svariati eventi, pianificando di conseguenza le nostre attività e le nostre stesse vite; siamo in grado di gestire il rischio e consideriamo ciò una cosa scontata.

Lo stesso autore della lettera incontrò però un’enorme difficoltà nell’afferrare anche solo l’idea stessa della probabilità degli eventi futuri, oltre ovviamente a come predirla. Ciò a dimostrazione di quale sforzo intellettuale richiese quella conquista che è la teoria delle probabilità, un grosso passo avanti non solo nella matematica, ma anche nel pensiero umano.

I primi passi

Ciò che mosse la ricerca che sfociò nella teoria delle probabilità fu la volontà di trovare dei modi per migliorare le possibilità di vincere al tavolo da gioco, in particolare in quei giochi d’azzardo che richiedevano l’uso dei dadi e che erano molto diffusi già nell’antichità: basti pensare alla mitologia greca, nella quale gli dei decidevano i destini dell’uomo attraverso il lancio di astragali (dadi fatti con le ossa delle caviglie degli animali).

Il primo tentativo a noi

960 d.C.: Wibold di

noto di identificare le regolarità numeriche nei giochi di fortuna risale al il vescovo

Cambray enumerò i 56 diversi risultati che si possono ottenere lanciando simultaneamente 3 dadi: 1,1,1; 1,1,2; 2,3,4; 3,5,6, eccetera.

Successivamente, nel poema latino del

De vetula XIII

secolo, troviamo l’elenco dei 216 (6 risultati ottenibili lanciando 3 dadi × 6 × 6)

1494,

uno dopo l’altro.

Arriviamo poi al quando nel libro Summa de aritmetica,

Luca Pacioli

geometria, proportioni et proportionalita, formulò il “problema dei punti”, noto anche come “problema del gioco incompiuto”.

Egli si chiese come i giocatori avrebbero dovuto spartirsi la posta qualora fosse stato necessario abbandonare prima del termine una partita suddivisa in più mani, ragionando su un incontro nel quale il gioco dovrebbe essere portato avanti fino a che un giocatore abbia vinto 6 mani.

Luca Pacioli

La sua soluzione fu quella di dividere la posta in base alla situazione raggiunta; se per esempio la partita fosse stata interrotta sul punteggio di 5 a 2, la posta avrebbe dovuto essere divisa secondo un rapporto di 5 a 2.

Tale ragionamento è sbagliato.

Girolamo Cardano

Lo dimostrò chi dopo di lui tentò di risolvere questo problema, ossia Cardano.

Girolamo

Cardano. Nato a Pavia il 24 settembre 1501, era figlio di un avvocato e professore universitario di geometria, col quale si consultava Leonardo da Vinci.

Girolamo si laureò in medicina a Padova, facendosi notare per la brillantezza negli studi ma anche per la sua estrema schiettezza e mancanza di diplomazia.

Quando era ancora giovane il padre morì, lasciandogli una piccola eredità; egli non ci mise molto a sperperarla tutta, e nel tentativo di mantenere il tenore di vita a cui era abituato si rivolse ai tavoli da gioco.

Per tutta la vita fu un giocatore compulsivo che per vincere aveva bisogno di ogni aiuto che potesse trovare e che era pronto a ricorrere a qualsiasi mezzo: durante una partita sfregiò con un coltello il volto di un avversario perché sospettava avesse imbrogliato a carte; i quesiti relativi ai tavoli da gioco, perciò, lo interessavano particolarmente.

Riguardo al problema dei punti, egli notò, correttamente, che la ripartizione della posta non dipendeva dalle mani già vinte ma da quelle che ciascun giocatore doveva ancora vincere

3

per aggiudicarsi la partita.

Nonostante questa osservazione neanche Cardano riuscì a risolvere il problema; diede comunque un contributo importante per l’avvio della teoria delle probabilità, anche grazie ad un suo

1564

manoscritto, steso nel ma pubblicato quasi un secolo dopo (1653): il Liber de ludo aleae, ossia il Libro sul gioco dei dadi.

Si tratta del primo studio scientifico del lancio dei dadi, fondato sulla premessa che esistono dei principi fondamentali che governano la probabilità (indicata però da lui con il termine “possibilità”) di particolari risultati.

Nelle sue pagine troviamo la regola per le situazioni in cui è possibile sommare diverse probabilità, oltre all’importantissima regola di moltiplicazione per combinare le differenti probabilità quando un gioco viene ripetuto più volte.

Con la prima regola possiamo così, ad esempio, calcolare la probabilità di ottenere un 1 oppure un numero pari lanciando un solo dado.

1 1 2

+ =

6 2 3

Con la seconda invece possiamo calcolare l’analoga probabilità nel caso in cui però il dado venga lanciato per due volte: 1 1 1

× =

2 12

6

Queste regole non furono generalmente accettate da subito, così come non fu accolta la considerazione di Cardano riguardo al problema dei punti: un grande matematico italiano, Niccolò Tartaglia, dichiarò che esso era assolutamente irrisolvibile.

Cardano ebbe un’accesa disputa con quest’ultimo riguardo uno dei suoi libri più famosi, l’Ars magna, relativo all’algebra: Tartaglia infatti gli aveva mostrato una formula, alla condizione che la mantenesse segreta; tuttavia, egli la inserì nel suo libro.

La personalità eccentrica di Cardano emerse anche negli ultimi anni della sua vita: si dice che egli abbia predetto correttamente la data esatta della propria morte il 21 settembre 1576, ottenendo questo successo suicidandosi.

Niccolò Tartaglia 1603

Diede una soluzione ancora diversa al problema del gioco incompiuto nel un

Lorenzo Forestani,

altro matematico italiano, nel suo libro Pratica d’arithmetica e geometria.

Egli sostenne che i giocatori avrebbero dovuto spartirsi la posta sulla base delle vittorie conseguite fino a quel momento da ognuno in relazione al numero di mani giocate, dividendo il resto in parti uguali, dato che l’ultima parte del gioco non avrebbe favorito nessuno dei due partecipanti.

Rivedendola oggi, questa soluzione è un disastro, ma si deve tenere conto del fatto che in quegli anni era ancora diffusa l’idea di futuro come qualcosa di puramente casuale, e lo sarà ancora per molto.

Pascal e Fermat

Arriviamo quindi al 1654.

In quell’anno, il giocatore d’azzardo Antoine Gombaud, conosciuto anche come Chevalier de Mèrè, rivolse al suo amico Pascal alcune domande sui giochi di fortuna, incluso il problema del gioco incompiuto.

Aveva rivolto l’enigma alla persona che finalmente sarebbe riuscita a risolverlo.

Blaise Pascal nacque il 19 giugno 1623 a Clermont, in Francia.

Perse presto la madre e fu cresciuto dal padre, funzionario del fisco e matematico dalle idee bizzarre, che decise che suo figlio non avrebbe dovuto studiare matematica prima di aver raggiunto 15 anni.

Questa proibizione, però, accrebbe nel giovane la curiosità verso

Blaise Pascal

4

la materia ed egli iniziò a 12 anni a lavorare in segreto sulla geometria, scoprendo da solo che la somma degli angoli interni di un triangolo corrisponde a due angoli retti; quando il padre lo venne a sapere, iniziò a portarlo con sé agli incontri di un’Accademia che raccoglieva matematici e scienziati di Parigi.

Per aiutare il padre nel lavoro di riscossione delle tasse, Blaise inventò la Pascalina, un prototipo di calcolatore meccanico, ma, riuscendo a venderne un numero ridotto, ne abbandonò la produzione.

Da adulto si occupò non solo di matematica, ma anche di scienze naturali e religione, formulando la famosa scommessa su Dio.

In termini matematici è ricordato, oltre che per il suo contributo fondamentale alla nascita della teoria della probabilità, anche per gli studi sul “triangolo” che porta il suo nome; la sua importanza sta nel fatto che i numeri presenti in ogni riga sono i coefficienti binomiali che compaiono nell’espansione dell’espressione

.

Ad esempio:

( + )

2 2 2

= [1, 1]

( + ) + 2 + 2,

3 3 2 2 3

= [1, 1]

( + ) + 3 + 3 + 3, 3,

4 4 3 2 2 3 4

= [1, 1]

+ 4 + 6 + 4 + 4, 6, 4,

( + )

E così via.

Intorno ai vent’anni Blaise si ammalò e non si rimise mai in salute, morendo a 39 anni nel 1662 a causa di un cancro al cervello.

Interrogato dal Chevalier de Mèrè, egli iniziò a riflettere sul problema dei punti, trovando una soluzione che riteneva potesse essere giusta.

Egli non era però del tutto sicuro della correttezza del suo ragionamento e scrisse quindi le proprie idee, inviandole ad un altro grande matematico francese dell’epoca, per vedere se avrebbe condiviso la sua linea argomentativa: Pierre Fermat.

Pierre Fermat nacque il 17 agosto 1601.

Studiò matematica e legge all’università di Tolosa, divenendo giurista e avvocato; la matematica rimase solo una passione che però caratterizzò tutta la sua vita.