Sistemi elettorali nel Consiglio Comunale dei Ragazzi: Un percorso matematico per comprendere la democrazia

Prima di procedere con il calcolo dei seggi, il docente avvia la discus-

sione ponendo agli allievi le seguenti domande, al fine di verificare se

le conoscenze da loro possedute siano adeguate a proseguire il

percorso didattico:

A) Che significa avere la maggioranza assoluta dei voti? Che signi

-

fica avere la maggioranza relativa dei voti? E’ corretto dire che la

maggioranza assoluta è data dalla metà del totale dei voti aumentata

di uno?

B) La lista che ha riportato più voti ha avuto la maggioranza assoluta

o relativa dei voti? 4

Quindi invita a calcolare quanti seggi avrà ciascuna lista, secondo il

sistema proporzionale previsto dall’art. 4 del regolamento.

Si calcola il “valore” in voti di un seggio, valore che è dato dal

rapporto tra il totale di voti validi (780) e il numero dei seggi da

assegnare (13). Quindi si effettua una prima distribuzione dei seggi,

assegnando a ciascuna lista un numero di seggi pari alla parte intera

della divisione tra i voti ricevuti e il valore di un seggio. I seggi non

assegnati in questa prima fase saranno distribuiti in base ai resti delle

9

divisioni, cominciando dalla lista che ha il resto maggiore .

Nel caso in esame, poiché i votanti sono stati 780 e i seggi disponibili

sono 13, il valore di ciascun seggio è 780:13=60.

Lista Ambiente Benessere Cultura

395 283 102

voti 395:60 = 6 283:60 = 4 102:60 = 1

divisioni per 60 resto 35 resto 43 resto 42

seggi 6 4 1

A questo punto i seggi assegnati sono solo 11. Gli altri due vengono

assegnati – come nel caso delle poltrone – alle liste che hanno i resti

maggiori: uno alla lista Benessere e uno alla lista Cultura. In definiti-

va, risultano eletti 6 consiglieri della lista Ambiente, 5 della lista

Benessere, 2 della lista Cultura.

OBIETTIVO. Consolidamento dei concetti di maggioranza assolu-

ta, maggioranza relativa e ballottaggio; verifica dell’esistenza di pa

-

radossi.

La discussione prosegue ponendo agli allievi le seguenti domande:

A) Quanti seggi sono necessari per avere la maggioranza assoluta?

B) La lista che nel caso in discussione ha più seggi ha la maggioranza

assoluta o la maggioranza relativa?

9 Questo metodo di assegnazione dei seggi è noto con i nomi “proporzionale pura”,

“metodo di Hamilton”, “metodo di Vinton”. E’ chiaro che se a una lista si potesse

attribuire un numero “virtuale” di seggi anche non intero, questo numero si

otterrebbe semplicemente dalla proporzione: v/V = s/S (v è il numero di voti della

lista, V il numero dei voti totali, s il numero di seggi della lista, S il numero dei seggi

disponibili). 5

Il docente illustra i due paradossi che seguono.

Paradosso. La lista Ambiente, che aveva avuto la maggioranza as-

soluta dei voti (395 su 780), non ha più la maggioranza assoluta dei

seggi nel consiglio comunale (6 su 13), pertanto non può esprimere un

proprio sindaco. Il sindaco, infatti, secondo l’art. 2 del regolamento e-

lettorale deve essere eletto con la maggioranza assoluta del consiglio

comunale.

Paradosso. La situazione è ancora più paradossale se si pensa che le

due liste meno votate avrebbero potuto formare un’unica lista Benes-

sere-Cultura. Supponendo che la lista Benessere-Cultura prenda la

somma dei voti delle due singole liste, la situazione sarebbe stata la

seguente: Totale Ambiente Benessere-Cultura

780 395 385

Voti 60 395:60 = 6 385:6 = 6

Rapporto resto 35 resto 25

Voti/Seggi

Seggi assegnati 6+1 6 10

La lista Ambiente avrebbe così avuto la maggioranza assoluta .

L’elezione del Sindaco. Torniamo alla situazione precedente: Am-

biente 6 consiglieri, Benessere 5 consiglieri, Cultura 2 consiglieri. Si

prospetta ora il problema dell’elezione del sindaco: ciascuna lista pre-

senta un proprio candidato sindaco. La situazione che ne consegue è

espressa dalla seguente tabella:

Lista Ambiente Benessere Cultura

Agnesi Beltrami Cavalieri

Candidato Sindaco Gaetana Eugenio Bonaventura

Voti su cui contare 6 5 2

Obiettivo. Consolidamento dei concetti di maggioranza assoluta,

maggioranza relativa, ballottaggio.

10 Nelle elezioni a sistema proporzionale puro le alleanze tra i partiti minori possono

penalizzare i partiti coalizzati. 6

Il docente prosegue la discussione ponendo agli allievi le seguenti

domande:

A) Quanti seggi sono necessari per avere la maggioranza assoluta?

B) La lista che ha più seggi ha la maggioranza assoluta o la

maggioranza relativa?

C) Quale candidato sarebbe stato eletto sindaco se fosse stata

sufficiente la maggioranza relativa dei voti?

C) Come funziona il metodo del ballottaggio?

Qualora per eleggere il sindaco fosse stata sufficiente la maggioranza

relativa, sarebbe stata eletta Gaetana Agnesi, il candidato del gruppo

Ambiente. Il docente illustra il metodo del ballottaggio e mette in

evidenza il paradosso che segue.

Paradosso. Con il sistema del ballottaggio, passerebbero il primo tur-

no i candidati Agnesi e Beltrami; i quali nel secondo turno dovrebbero

chiedere l’appoggio dei consiglieri del gruppo Cultura, i cui voti

sarebbero decisivi. Si potrebbe avere allora la seguente situazione. I

consiglieri del gruppo Ambiente temendo un’intesa tra gli altri due

gruppi concordano con i consiglieri della lista Cultura quanto segue:

Agnesi, il candidato sindaco del loro gruppo farà il vicesindaco,

mentre Cavalieri farà il sindaco. In cambio i consiglieri del gruppo

Ambiente vogliono che si modifichi il regolamento per l’assegnazione

dei seggi, dato che quello vigente li ha penalizzati.

Bonaventura Cavalieri diviene sindaco di Matematopoli e Gaetana

Agnesi diviene vicesindaco. Il paradosso in questo caso consiste nel

fatto che la lista che ha avuto il minor numero di voti assume

11

l’incarico più importante .

Cambiare il regolamento. Il primo argomento che viene discusso dal

nuovo consiglio comunale è quello di trovare un sistema elettorale che

sia equo è rispetti i principi di base di una votazione democratica.

11 In una situazione in cui i componenti del gruppo consigliare sono costretti a coo-

perare per giungere alla soluzione del problema, l’equilibrio tra le decisioni è impre-

vedibile. La volontà degli elettori non ha più nessuna influenza; la scelta, dal punto

di vista dell’elettore, appare pressoché casuale o dettata da ambizioni di potere. 7

I consiglieri del gruppo Ambiente sono per il rinnovo totale del

regolamento, in alternativa sarebbero disposti ad accettarne una

modifica parziale. I consiglieri del gruppo Benessere desiderano

confermare il regolamento vigente, in alternativa preferiscono

rinnovarlo del tutto. I consiglieri del gruppo Cultura preferiscono

modificare il regolamento o in alternativa vogliono che resti così

com’è. In sintesi la situazione è:

Partito Ambiente Benessere Cultura

6 5 2

consiglieri

preferenza R C M

innovare onfermare odificare

alternativa M R C

odificare innovare onfermare

contrari a C M R

onfermare odificare innovare

Dopo le dichiarazioni di voto si passa alla votazione vera e propria. In

prima votazione si decide se Rinnovare o Confermare il regolamento

vigente. Per la Conferma votano solo i consiglieri del gruppo

Benessere, per il Rinnovo votano i consiglieri del gruppo Ambiente. I

consiglieri del gruppo Cultura non potendo votare per il Rinnovo

votano per la Modifica, che è la loro seconda preferenza. In definitiva

7 consiglieri votano per la Conferma e 6 per il Rinnovo.

In seconda votazione si decide se Modificare o Confermare il

regolamento: votano per la Conferma i consiglieri del gruppo

Benessere, votano per la Modifica i consiglieri dei gruppi Ambiente e

Cultura. Il consiglio delibera quindi di modificare il regolamento.

In definitiva l’ordine di preferenza è

Modificare > Confermare > Rinnovare

Paradosso. E se si fosse votato anche tra Modificare e Rinnovare?

Paradossalmente avrebbe vinto Rinnovare con 11 voti contro 2.

L’ordine delle scelte quindi non è transitivo ma ciclico:

Modificare > Confermare > Rinnovare > Modificare.

12

Paradosso (paradosso di Condorcet ). E se si fosse votato con un

ordine differente? Votando prima se Rinnovare o Modificare, avrebbe

12 M. de Condorcet, Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des

décisions rendus à la pluralité des voix, Parigi, 1785. 8

vinto Rinnovare per 11 voti contro 2. Votando poi se Rinnovare o

Confermare, avrebbe vinto Confermare per 7 voti contro 6.

L’ordine di preferenza in questo caso sarebbe stato

Confermare > Rinnovare > Modificare.

In altre parole, cambiando l’ordine della votazione, la decisione non

13

sarebbe stata la stessa . 14 ). Infine, si poteva votare mettendo

Paradosso (paradosso di Borda

ai voti le tre proposte contemporaneamente, ciascun votante avrebbe

espresso una sola preferenza e avrebbe vinto la scelta che avesse

ottenuto il maggior numero di voti. In questo caso il risultato sarebbe

stato:

Rinnovare (6 voti) > Confermare (5 voti) > Modificare (2 voti).

13 Affinché si verifichi questo paradosso è necessario che ogni alternativa sia

considerata la peggiore da qualcuno. Infatti, se A vince su B, almeno la metà più uno

dei votanti preferisce A a B. Se B vince su C, almeno la metà più uno dei votanti

preferisce B a C. Quindi, almeno uno dei votanti preferisce A a B e B a C, cioè

considera C l’alternativa peggiore. Per simmetria, si verifica la stessa cosa per B e

per A.

In generale, all’aumentare del numero delle scelte la situazione di indeterminazione

o di casualità nella scelta aumenta. Riportiamo una tabella tratta da [7] pag. 42. La

tabella è riprodotta anche in [3] pag. 226. ∞

VOTANTI 3 5 7 9 11

3 5,6% 6,9% 7,5% 7,8% 8,0% 8,8%

4 11,1% 13,9% 15,0% 15,6% 16,0% 17,6%

SCELTE 5 16,0% 20,0% 21,5% 23,0% 25,1% 25,1%

6 20,2% 25,5% 25,8% 28,4% 29,4% 31,5%

7 23,9% 29,9% 30,5% 34,2% 34,3% 36,9%

∞ 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

La probabilità di avere situazioni di intransitività aumenta all’aumentare del numero

dei votanti e all’aumentare del numero di scelte. Per qualsiasi numero di votanti la

probabilità del paradosso diventa certezza quando il numero delle scelte aumenta

indefinitamente. Se si fissa il numero delle scelte a tre, la possibilità del paradosso

aumenta di poco all’aumentare dei votanti, passa da 5,6% con tre votanti a 8,8% con

infiniti votanti.

14 J.C. de Borda, “Mémoire sur les élections au scrutin”, Mémoire de l’Académie

Royale des Sciences, 178