Si consideri la funzione
[math]f_X(x) = \begin{cases} \gamma^2 - \frac{16}{9}x^2 & \text{se } -\frac{3}{4} \gamma \le x
in cui
[math]\gamma[/math]
è un numero reale positivo.
a) Determinare il valore
[math]\gamma[/math]
per cui [math]f_{X}(x)[/math]
rappresenta effettivamente una funzione di densità di probabilità .
b) Sia [math]X[/math]
una variabile aleatoria con densità di probabilità [math]f_{X}(x)[/math]
. Calcolare il valor medio [math]m_{X}[/math]
e la varianza [math]\sigma_{X}^{2}[/math]
di [math]X[/math]
.
[math]f_{X}(x)[/math]
rappresenta una funzione di densità di probabilità se e solo se
[math]f_{X}(x) \ge 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}[/math]
(1)
[math]\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(x) dx = 1[/math]
(2)
Per
[math]-\frac{3}{4} \gamma \le x risulta
[math]\gamma^2 - \frac{16}{9}x^2 \ge 0[/math]
, quindi la (1) è sempre verificata per ogni [math]\gamma \in \mathbb{R}[/math]
, pertanto non resta che studiare la condizione (2).
[math]\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(x) dx = \int_{-\frac{3}{4}\gamma}^{\frac{3}{4} \gamma} (\gamma^2 - \frac{16}{9}x^2) dx = \int_{-\frac{3}{4} \gamma}^{\frac{3}{4} \gamma} \gamma^2 dx - \int_{-\frac{3}{4} \gamma}^{\frac{3}{4} \gamma} \frac{16}{9} x^2 dx =[/math]
[math]= \gamma^2 (\frac{3}{4} \gamma + \frac{3}{4} \gamma) - \frac{16}{9}\cdot \frac{1}{3} [x^3]_{-\frac{3}{4} \gamma}^{\frac{3}{4} \gamma} =\frac{3}{2} \gamma^3 - \frac{16}{27} (\frac{27}{64} \gamma^3 +\frac{27}{64} \gamma^3 ) =[/math]
[math]= \frac{3}{2} \gamma^3 - \frac{16}{27} \cdot \frac{27}{32} \gamma^3= \frac{3}{2} \gamma^3 - \frac{1}{2} \gamma^3 = \gamma^3[/math]
Imponendo la condizione (2) si trova:
[math]\gamma^3 = 1 \implies \gamma = 1[/math]
Quindi
[math]f_X(x) = \begin{cases} 1 - \frac{16}{9} x^2 & \text{se } -\frac{3}{4} \le x
Se
[math]X[/math]
è una variabile aleatoria con questa densità di probabilità , la sua media vale
[math]m_{X} = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x f_{X}(x) dx = \int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{3}{4}} (x - \frac{16}{9} x^3) dx =\int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{3}{4}} x dx -\int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{3}{4}} \frac{16}{9} x^3 dx =[/math]
[math]= \frac{1}{2} (\frac{9}{16} - \frac{9}{16}) - \frac{16}{9} \cdot\frac{1}{4} (\frac{81}{256} - \frac{81}{256}) = 0[/math]
Dunque
[math]X[/math]
è una variabile aleatoria a media nulla. Indicando con [math]E[\cdot][/math]
l'operatore valore atteso, la varianza di [math]X[/math]
vale
[math]\sigma_{X}^{2} = E[(X - m_{X})^{2}] = E[X^2 - 2X m_{X} + m_{X}^2][/math]
Ricordando che
[math]m_{X} = 0[/math]
risulta
[math]\sigma_{X}^{2} = E[X^2] = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f_{X}(x) dx =\int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{3}{4}} (x^2 - \frac{16}{9} x^4 ) dx =[/math]
[math]= \displaystyle \int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{3}{4}} x^2 dx - \int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{3}{4}} \frac{16}{9} x^4 dx = \frac{1}{3} (\frac{27}{64} + \frac{27}{64}) - \frac{16}{9} \cdot \frac{1}{5} \frac{243}{1024} + \frac{243}{1024} = [/math]
[math]= \frac{9}{32} - \frac{16}{9} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{243}{512} = \frac{9}{32} - \frac{27}{160} = \frac{45}{160} - \frac{27}{160} = \frac{18}{160} = \frac{9}{80}[/math]
Quindi
[math]\sigma_{X}^{2} = \frac{9}{80}[/math]
.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
