Si consideri un dado a
[math]6[/math]
facce: su tre facce è impresso il numero [math]1[/math]
; su due facce il numero [math]3[/math]
e su una faccia il numero [math]6[/math]
. Si definisca la variabile aleatoria discreta [math]X[/math]
corrispondente al numero ottenuto da un lancio del dado.
a) Determinare la funzione densità di probabilità di
[math]X[/math]
.
b) Determinare il valroe attesi
[math]m_X = E[X][/math]
e la varianza [math]E[(X - m_X)^2][/math]
di un singolo lancio.
Si consideri ora la variabile aleatoria
[math]Z = X_1 + X_2[/math]
corrispondente alla somma dei punteggi del lancio di due dadi [math]X_1[/math]
e [math]X_2[/math]
, con le stesse caratteristiche del dado precedente.
c) Determinare la funzione densità di probabilità di
[math]Z[/math]
d) Calcolare la probabilità che
[math]Z[/math]
sia maggiore di [math]8[/math]
.
e) Calcolare la probabilità che
[math]Z[/math]
sia maggiore di [math]8[/math]
, sapendo che almeno uno dei due dati ha dato come esito il numero [math]3[/math]
. Dato che
[math]X[/math]
è una variabile aleatoria scalare, la sua densità di probabilità vale
[math]f_{X}(k) = P(X=k) = \begin{cases} \frac{1}{2} & \text{se } k = 1 \\ \frac{1}{3} & \text{se } k = 3 \\ \frac{1}{6} & \text{se } k = 6 \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}[/math]
Quindi il valor media risulta pari a
[math]m_X = \sum_{k = 0}^{+\infty} = k f_{X}(k) = \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{3} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}[/math]
La varianza invece vale
[math]E[(X - m_X)^2] = E[X^2 - 2 m_X X + m_{X}^2] = E[X^2] - 2m_X E[X] + m_{X}^2 = E[X^2] - m_{X}^2=[/math]
[math]=\sum_{k=0}^{+\infty} k^2 f_{X}(k) - \frac{25}{4} = \frac{1}{2} + 9 \cdot \frac{1}{3} + 36 \cdot \frac{1}{6} - \frac{25}{4} = \frac{1}{2} + 9 - \frac{25}{4} = \frac{2 + 36 - 25}{4} = \frac{13}{4}[/math]
[math]Z = X_1 + X_2[/math]
, pertanto
[math]f_{Z}(h) =P(Z=h) = \begin{cases} \frac{1}{4} & \text{se } h = 2 \\ \frac{1}{3} & \text{se } h = 4 \\ \frac{1}{6} & \text{se } h = 7 \\ \frac{1}{9} & \text{se } h = 6 \\ \frac{1}{9} & \text{se } h = 9 \\ \frac{1}{36} & \text{se } h = 12 \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}[/math]
tenendo conto che
[math]P(Z = h) = P({X_1 = k} \cap {X_2 = h - k}) + P({X_1 = h - k} \cap {X_2 = k})[/math]
La probabilità che
[math]Z[/math]
sia maggiore di [math]8[/math]
vale
[math]P(Z > 8) = \sum_{h = 9}^{+\infty} f_{Z}(h) = \frac{1}{9} + \frac{1}{36} = \frac{5}{36}[/math]
La probabilità che
[math]Z[/math]
sia maggiore di [math]8[/math]
, tenendo conto che un dado ha dato come esito [math]3[/math]
, vale
[math]P({X_1 = 3} \cap {X_2 = 6}) + P({X_1 = 6} \cap {X_2 = 3}) = \frac{1}{18} + \frac{1}{18} = \frac{1}{9}[/math]
FINE
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
