Andamento della crescita demografica mondiale

ANNO

CRESCITA ANNUA DELLA POPOLAZIONE MONDIALE - grafico 2

d ( )

P t

dt

100

90

[milioni/anno] 80

70

60

CRESCITA 50

40

DI

VELOCITA' 30

20

10

0

1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300

ANNO 7

VARIAZIONE DELLA VELOCITA' DI CRESCITA DELLA

POPOLAZIONE MONDIALE - grafico 3

2

d ( )

P t

2

dt

2,0

[milioni/anno^2] 1,5

1,0

0,5

CRESCITA 0,0

-0,5

DI

VARIAZIONE -1,0

-1,5

-2,0

1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300

ANNO

Riepilogando, il grafico 1 rappresenta l’equazione logistica che meglio approssima

l’andamento della crescita della popolazione mondiale nel tempo; il grafico 2 altro non è

che la derivata prima della logistica (grafico 1) ed esprime la crescita annua della

popolazione mondiale, cioè la differenza tra le nascite e le morti (ovviamente le prime

superano le seconde). Si può facilmente osservare nel grafico 2, caratterizzato dalla forma

= , che vi è stato un picco di nascite nel

a “campana” e simmetrico rispetto all’asse t 2000

2000 pari uno scarto di 92 milioni di nuovi individui rispetto ai deceduti dello stesso anno.

Sino al 2000 è stato un increscendo di nascite, poi, dall’anno 2000 questa “inversione di

tendenza” porterà col trascorrere dei secoli ad un numero annuo di nascite pari al numero

di morti mantenendo così la popolazione sostanzialmente costante nel tempo; ciò è molto

evidente a partire dall’anno 2150 in poi. Infatti, al limite:

⎛ ⎞

d ( ) =

⎜ ⎟

lim 0

P t

⎝ ⎠

→∞ dt

t

Il grafico 3, ottenuto dalla derivazione seconda della logistica (grafico 1), è la variazione

annua della differenza tra le nascite e le morti. Fisicamente può interpretarsi come

“l’accelerazione” della crescita della popolazione mondiale; essa ha raggiunto il massimo

assoluto nel 1968 in cui la popolazione aumentò di 1,5 milioni unità rispetto all’anno

precedente, mentre raggiungerà il minimo assoluto nel 2032 contando un decremento di

1,5 milioni di persone rispetto all’anno precedente (entrambi gli anni coincidono

ovviamente con i due punti di flesso del grafico 2).

Da notarsi la simmetria di tale funzione rispetto al punto individuato dalle coordinate

cartesiane (0,2000). 8

In termini matematici, l’analisi della variazione annua della differenza tra le nascite e i

decessi è data dalla derivata terza dell’equazione logistica della crescita demografica

mondiale: ( )

⎧ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +

3 c t 2 c t c t 2

a b c e e 4 b e b

3

d ( )

⎪ =

P t ( ) 4

3

⎪ ⋅ +

dt c t

e b

⎪

⎨ ( )

( )

⎪ ⋅ ∓

ln 2 3

b ⎧

3 1968

t

iii d ( )

⎪ = ⇒ = ⇒ = ⇒⎨ max

0 0

P P t t

⎪ max,min

3 ⎩ 2032

t

dt c

⎩ min

Quest’ultimo grafico (numero 3) è la riconferma di quanto affermato in precedenza; dal

2150 la popolazione mondiale rimarrà pressoché invariata con il trascorre del tempo,

giacché:

⎛ ⎞

2

d ( ) =

⎜ ⎟

lim 0

P t

2

→∞ ⎝ ⎠

dt

t

Per conoscere la popolazione mondiale media annua che ha vissuto un determinato

periodo storico, si imposta il calcolo del valor medio della funzione logistica della crescita

;t ]:

demografica in un dato intervallo chiuso [t

1 2

1 ( )

t

∫

= ⋅ 2

P P t dt

−

m t t t

1

2 1 ⎛ ⎞

a

1 t

∫

= ⋅ +

2 ⎜ ⎟

P d dt

− ⋅

− + ⋅

m ⎝ ⎠

c t

t t b e

1

t

1

2 1

( ) ( ) ( )

⋅ ⋅

⋅ + − ⋅ + + ⋅ ⋅ −

c t c t

a e b a e b c d t t

ln ln

1 2

= 1 2

P ( )

⋅ −

m c t t

1 2

∆ = − ⇒ ∆ > :

Indicando t t t t 0

2 1 ( ) ( )

⋅ ⋅

⋅ + + ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ +

c t c t

a ln e b c d t a ln e b

2 1

=

P ⋅ ∆

m c t

Ad esempio, il XX secolo è stato mediamente popolato da quasi 3 miliardi di persone

all’anno (grafico 5):

( ) ( )

⋅ ⋅

⋅ + + ⋅ ⋅ − ⋅ +

c 2000 c 1900

a ln e b c d 100 a ln e b

=

XX mld

P 2,97

⋅

m c 100

Mentre per il secolo in corso:

( ) ( )

⋅ ⋅

⋅ + + ⋅ ⋅ − ⋅ +

c 2100 c 2000

a ln e b c d 100 a ln e b

=

XXI mld

P 8,99

⋅

m c 100

E’ evidente l’aumento della media della popolazione tra i due secoli; con il XXI secolo la

popolazione mondiale si è mediamente triplicata rispetto al secolo precedente (grafico 5).

(può intendersi come la

Può altresì ottenersi la popolazione di un determinato anno P

m

∆ → , quindi facendo tendere il valore

popolazione di un dato “istante”), imponendo il t

t 0 1

o viceversa:

a t 2 ⎛ ⎞

1

( ) ( )

t

∫

= = ⋅ 2

⎜ ⎟

P P P t dt

lim lim −

m m

∆ → → ⎝ ⎠

t t t

0

t t t 1

1 2 2 1 ( ) ( ) ( )

⋅ ⋅

⋅ + − ⋅ + + ⋅ ⋅ −

c t c t

⎛ ⎞

⎛ ⎞ a e b a e b c d t t

ln ln

1 2

a

1 t

∫

= ⋅ + = 1 2

2

⎜ ⎟

⎜ ⎟

P d dt

lim lim ( )

− ⋅

− + ⋅ ⋅ −

m ⎝ ⎠

c t

→ →

⎝ ⎠

t t b e c t t

1

t

t t t t

1

1 2 1 2

2 1 1 2 9

Si ricava così la popolazione mondiale in un dato anno :

T

( )

⋅ ⋅ + + ⋅

c T

e a d b d

=

P ⋅ +

m c T

e b

Da notarsi che quest’ultima equazione è equivalente alla funzione logistica (grafico 1) della

= ⇒ mld o per

crescita demografica mondiale; infatti, per esempio, per T 2000 P 5,99

m

= ⇒ mld .

T 1900 P 1, 63

m

Tuttavia, questo modello matematico, descritto in questa breve analisi, è applicabile per la

storia più recente e soprattutto per fare previsioni future sulla crescita della popolazione

mondiale; mentre non è possibile utilizzarlo per stimare la popolazione in tempi antichi,

poiché (grafico 4 e 5):

⎛ ⎞

a

( ) = + = >

⎜ ⎟ con

lim lim 0

P t d d c

− ⋅

+ ⋅

⎝ ⎠

c t

→−∞ →−∞ 1 b e

t t

Quindi risulterebbe che in un tempo infinitamente antico vi fossero quasi 1,5 miliardi di

individui sulla terra! Ma ciò, come è ovvio immaginare, non è assolutamente vero!

CRESCITA DEMOGRAFICA MONDIALE - grafico 4

12 = + mld

P a d 10, 46

[miliardi] max

10

MONDIALE 8

6

POPOLAZIONE 4

2 = mld

P d 1, 49

min

0

1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300

ANNO

In ultima analisi, il 1960 coincide con il valore della popolazione mondiale media annua

che ha vissuto nel XX secolo, pari a 2,97 miliardi, analogamente per il secolo XXI l’anno

sarà il 2039 (grafico 5).

Per il calcolo dell’anno in cui la popolazione mondiale è pari alla media calcolata per un

determinato periodo di tempo, si imposta:

1 ( )

t

∫

= ⇒ ⋅ =

2

P P t P t dt P t

( ) ( )

−

m t t t

1

2 1

⎛ ⎞

a a

1 t

∫

⋅ + = +

2 ⎜ ⎟

d dt d

− ⋅ − ⋅

− + ⋅ + ⋅

⎝ ⎠

c t c t

t t b e b e

1 1

t

1

2 1

svolgendo l’equazione di sopra si ottiene, esplicitando , “l’anno medio”:

t

( )

⎛ ⎞

⋅ ⋅ +

c t

b ln R

1 e b

1

= ⋅ − =

⎜ ⎟ con

t ln R

⎜ ⎟

( ) ( ) ⋅

+ ⋅ − +

m c t

c ln R c t t e b

⎝ ⎠ 2

2 1 10

∆ = − ⇒ ∆ >

sostituendo :

t t t t 0

2 1 ( )

⎛ ⎞

⋅

b ln R

1

= ⋅ −

⎜ ⎟

t ln ⎜ ⎟

( ) + ⋅ ∆

m c ln R c t

⎝ ⎠

Applicando quanto appena ottenuto per il XX secolo, si ricava:

( )

⎛ ⎞

⋅ ⋅ +

1900

c

b ln R

1 e b

= ⋅ − =

⎜ ⎟

XX con

t ln R

⎜ ⎟

( ) ⋅

+ ⋅ +

m 2000

c

c ln R c 100 e b

⎝ ⎠

XX

t 1960

m

Per il XXI secolo è invece l’anno:

( )

⎛ ⎞

⋅ ⋅ +

2000

c

b ln R

1 e b

= ⋅ − =

⎜ ⎟

XXI con

t ln R

⎜ ⎟

( ) ⋅

+ ⋅ +

m 2100

c

c ln R c 100 e b

⎝ ⎠

XXI

t 2039

m POPOLAZIONE MONDIALE DEL XX E XXI SECOLO - grafico 5

12 = + mld

P a d 10, 46

[miliardi] max

10 XXI mld

P 8,99

m

MONDIALE 8

6

POPOLAZIONE 4 XX mld

P 2,97

m = mld

P d 1, 49

2 min

0

1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020 2040 2060 2080 2100

ANNO

CURIOSITA’: Se dovesse risultare vero, che i sistemi che seguono un andamento di tipo logistico cessano

di esistere quando giungono al 95% della loro crescita massima teorica, all’umanità non resterebbero che

alcuni decenni di esistenza, precisamente sino al 2068, perché:

+

a d

=

P t

95% ( ) 0,95 +

a a d

+ =

d

− ⋅

+ ⋅ c t

b e

1 0

,95

T 2068

F

Fortunatamente l’esistenza umana, come tutti i fenomeni sociali, non è deterministica, perciò le previsioni

della fine del mondo l’uomo saggio le lascia fare a chi ignora. 11

TABULAZIONE DEI GRAFICI

GRAFICO 1 – parte prima

Periodo: 1900 -2300

∆ anni: 5

t POPOLAZIONE POPOLAZIONE

ANNO MONDIALE ANNO MONDIALE

(miliardi) (miliardi)

1900 1,637 2105 10,339

1905 1,669 2110 10,361

1910 1,709 2115 10,378

1915 1,757 2120 10,392

1920 1,815 2125 10,404

1925 1,885 2130 10,413

1930 1,970 2135 10,421

1935 2,073 2140 10,427

1940 2,195 2145 10,432

1945 2,340 2150 10,437

1950 2,512 2155 10,440

1955 2,714 2160 10,443

1960 2,948 2165 10,445

1965 3,217 2170 10,447

1970 3,522 2175 10,448

1975 3,864 2180 10,450

1980 4,240 2185 1