Richiami di matematica Elementare

2 RICHIAMI DI MATEMATICA ELEMENTARE

Per essa si applica la formula risolutiva √ 2

−b ± b − 4ac

(11) x = ,

1/2 2a 2

la quale, a seconda dei valori assunti dal discriminante ∆ = b − 4ac, ammette:

(i) due soluzioni reali distinte per ∆ > 0,

(ii) due soluzioni reali coincidenti, pari a −b/(2a) per ∆ = 0,

(iii) nessuna soluzione reale (due soluzioni complesse coniugate) per ∆ < 0.

Le radici dell’equazione soddisfano poi alle relazioni

b c

(12) x + x = − , x · x = .

1 2 1 2

a a

La disequazione di primo grado

ax + b ≤ (≥)0

ammette come soluzione b

(13) x ≤ (≥) − , a > 0,

a

b

(14) x ≥ (≤) − , a < 0.

a

Per la risoluzione della disequazione

2

ax + bx + c > (<)0, a > 0,

si faccia riferimento alla seguente tabella (i casi per a < 0 si trattano in maniera

analoga cambiando opportunamente i segni).

2 2

∆ ax + bx + c > 0 ax + bx + c < 0

> 0 x < x , x > x , (x < x ) x < x < x

1 2 1 2 1 2

=0 ∀ x ∈ R \ {−b/a} @ x ∈ R

< 0 ∀ x ∈ R @ x ∈ R

1.3. Radicali. Sia a ∈ R, n un numero naturale. Per radicale del radicando a di

indice n si intende il numero √ a.

n

Si osservi che, quando n è pari, è necessario che a ≥ 0, viceversa le radici di indice

dispari si intendono per qualsiasi numero reale. Inoltre, nel caso pari parleremo

di radice aritmetica di a quando la si sceglierà senza segno (o, per meglio dire,

con segno positivo), mentre parleremo di radice algebrica di a intendendo quella

con segno positivo o negativo (ciò è dovuto al fatto che un numero positivo e il

suo opposto, elevati ad una potenza pari, danno lo stesso valore). Nel caso delle

RICHIAMI DI MATEMATICA ELEMENTARE 3

radici dispari, invece, il segno della radice sara concorde a quello del numero a.

Utilizzeremo spesso anche la seguente notazione:

√ 1/n

a = a .

n

Valgono allora le seguenti proprietà per i radicali:

1.3.1. Somma. Due radicali si possono sommare se e solo se hanno uguale indice e

uguale radicando.

1.3.2. Prodotto. Si ha √ √

√ m nm m n

a · b = a · b ,

n

o equivalentemente 1/n 1/m m n 1/(nm)

a · b = (a · b ) .

1.3.3. Quoziente. Si ha √ √

√ m nm m n

a : b = a : b ,

n

o equivalentemente 1/n 1/m m n 1/(nm)

a : b = (a : b ) .

1.3.4. Potenza. Si ha √

√ m n m

a) = a ,

( n

o equivalentemente 1/n m m/n

(a ) = a .

Si ha

1.3.5. Radice. q √ √

m a = a,

n nm

o equivalentemente 1/n 1/m 1/(nm)

(a ) = a .

1.3.6. Razionalizzazione. Quando un radicale si presenta al denominatore di una

frazione è conveniente razionalizzare tale espressione, i.e. rendere il denominatore

un numero razionale. Nel seguito riportiamo alcuni casi importanti:

√

n n−m

1 a

√

(i) = , m < n.

a

m

n a √

√

1 a ∓ b

√

(ii) = .

√ a ± b

a ± b

√ √

√

3 3

3

2 2

1 a ∓ ab + b

√ = .

(iii) √ a ± b

3

a ± b

3

4 RICHIAMI DI MATEMATICA ELEMENTARE

1.4. Disequazioni irrazionali. Diamo di seguito lo schema risolutivo delle dise-

quazioni della forma p p

n n

(1) f (x) > g(x), (2) f (x) < g(x).

(i) n dispari.

L’equazione (1) diviene semplicemente n

[f (x)] < g(x).

Analogamente la (2) n

[f (x)] > g(x).

(ii) n pari.

L’equazione (1) equivale al sistema

 g(x) ≥ 0

 f (x) > 0

(15) .

 n

(f (x)) > g(x)

L’equazione (2) corrisponde ai due sistemi di equazioni

½ ½

g(x) ≥ 0 f (x) ≥ 0

(16) .

n

f (x) < 0 (f (x)) < g(x)

Una succesione, indicata con il simbolo {a } è

1.5. Successioni e progressioni. n

un’applicazione che ad ogni numero naturale n associa un numero reale a . Parti-

n

colari tipi di successioni sono le progressioni.

1.5.1. Progressioni aritmetiche. Una progressione aritmetica è una succesione {a }

n

(finita o infinita) di termini tali che la differenza tra un termine e il precedente

risulta costante: tale costante viene detta ragione della progressione. In simboli

a − a = d, ∀ n ∈ N.

n+1 n

Ne segue che i termini di una progressione aritmetica si scrivono in forma generale

come a = a + d.

n+1 n

Si osservi che, essendo a = a + d,

2 1

a = a + d = a + 2d,

3 2 1

a = a + d = a + 3d, . . .

4 3 1

ne segue la seguente formula chiusa per il generico termine di una progressione

aritmetica

(17) a = a + nd.

n+1 1

Dalla precedente si ricavano anche le seguenti formule:

a − a

a − a n+1 1

n+1 1 , n = .

d = n d

In generale, noto il termine a , il generico termine a con n > s è dato da

s n

a = a + (n − s)d.

n s

La somma di n termini di una progressione aritmetica è data dalla seguente formula:

(a + a )n

1 n

(18) S = .

n 2

RICHIAMI DI MATEMATICA ELEMENTARE 5

1.5.2. Progressioni geometriche. Una progressione geometrica è una succesione {a }

n

(finita o infinita) di termini tali che il rapporto tra un termine e il precedente risulta

costante: tale costante viene detta ragione della progressione. In simboli

a n+1 = q, ∀ n ∈ N.

a

n

Ne segue che i termini di una progressione geometrica si scrivono in forma generale

come a = a · q.

n+1 n

Si osservi che, essendo a = a · q,

2 1 2

a = a · q = a · q ,

3 2 1 3

a = a · q = a · q , . . .

4 3 1

ne segue la seguente formula chiusa per il generico termine di una progressione

aritmetica n

(19) a = a · q .

n+1 1

Dalla precedente si ricavano anche le seguenti formule:

r a log a − log a

n+1 n+1 1

q = , n = .

n a log q

1

In generale, noto il termine a , il generico termine a con n > s è dato da

s n

n−s

a = a · q .

n s

La somma di n termini di una progressione aritmetica è data dalla seguente formula:

n

1 − q

(20) S = a · .

n 1 1 − q

Si osservi che, se la progressione geometrica consiste di infiniti termini, si hanno i

seguenti due casi per la somma:

n

(i) se |q| > 1, poiché q cresce indefinitamente per n sempre più grande, la

somma risulta infinita; n

(ii) viceversa, se |q| < 1, q tende a divenire sempre più prossimo a 0 per n

grande, e quindi la somma è pari a a

1

S = .

∞ 1 − q

2. Richiami di geometria Analitica

2

Nel seguito, si identifica R con il Piano Cartesiano ortogonale xOy. Le let-

tere maiuscole A, B, C, . . . indicheranno punti del piano di coordinate rispettive

(x , y ), (x , y ), (x , y ), . . ., mentre le lettere minuscole indicheranno punti sulla

A A B B C C

retta reale R.

Dati due punti A(x , y ), B(x , y ) nel piano, la loro distanza (euclidea) è data

A A B B

da p 2 2

(21) |AB| = (x − x ) + (y − y ) ,

B A B A

mentre il punto medio M ha coordinate

x + x y + y

A B A B

(22) x = , y = .

M M

2 2

6 RICHIAMI DI MATEMATICA ELEMENTARE

2.1. La retta.

2.1.1. Equazione della retta parallela agli assi cartesiani.

(23) y = k, k ∈ R,

equazione della retta parallela all’asse delle ascisse (eq: y = 0).

(24) x = k, k ∈ R,

equazione delle retta parallela all’asse delle ordinate (eq: x = 0).

2.1.2. Equazione della retta passante per l’origine.

(25) y = mx, m ∈ R,

dove la costante m è detta coefficiente angolare della retta.

2.1.3. Equazione della retta generica.

(26) y = mx + q, m, q ∈ R,

dove m è come prima e q viene detto intercetta all’origine.

2.1.4. Equazione generale di una retta.

(27) ax + by + c = 0, , a, b, c ∈ R,

in cui, a seconda delle scelte di a, b, c, si ricavano i casi precedenti.

2.1.5. Problemi relativi alla retta. Diamo di seguito alcune informazioni sulla riso-

luzione di problemi relativi alle rette.

A) Condizione di parallelismo

0 0

Due rette r, r sono parallele se e solo se i loro coefficienti angolari m, m sono uguali.

B) Condizione di perpendicolarità

0 0

Due rette r, r sono perpendicolari se e solo se i loro coefficienti angolari m, m sono

l’uno l’antireciproco dell’altro, i.e. 1

0

(28) m = − .

m

C) Retta per un punto e di dato coefficiente angolare

Dato il punto A(x , y ), l’equazione della retta passante per esso e di coefficiente

0 0

angolare dato m è

(29) y − y = m(x − x ).

0 0

D) Retta passante per due punti

Dati i punti A(x , y ), B(x , y ), l’equazione della retta passante per essi è

1 1 2 2 y − y

2 1

(30) y − y = (x − x ),

1 1

x − x

2 1

dove y − y

2 1

(31) m = ,

x − x

2 1

è l’espressione del coefficiente angolare di tale retta.

RICHIAMI DI MATEMATICA ELEMENTARE 7

E) Intersezione tra due rette

0

Date due rette r, r i loro punti di intersezione si ricavano risolvendo il sistema

formato dalle loro equazioni. Si possono verificare tre casi distinti:

(i) il sistema ammette una sola soluzione: le rette si intersecano in un solo punto;

(ii) il sistema ammette infinite soluzioni: le rette sono coincidenti;

(iii) il sistema non ammette soluzioni: le rette sono parallele.

F ) Distanza di un punto da una retta

Sia P (x , y ) un punto non appartenente alla retta r di equazione y = mx + q o

0 0

ax + by + c = 0. La distanza del punto P dalla retta r è data da

|mx − y + q|

0 0

√

(32) d = ,

2

1 + m

nel primo caso e |ax + by + c|

0 0

√

(33) d = 2 2

a + b

nel secondo caso. Si definisce circonferenza il luogo dei punti del piano aventi

2.2. La circonferenza.

distanza costante r (detto raggio) da un punto fisso C (detto centro).

Se il centro ha coordinate C(α, β), la circonferenza di centro C e raggio r ha

equazione 2 2 2

(34) (x − α) + (y − β) = r .

Svolgendo i quadrati nel precedente si ottiene l’equazione equivalente

2 2

(35) x + y + ax + by + c = 0

dove si è posto 2 2 2

a = −2α, b = −2β, c = α + β − r .

Si osservi che, nota l’equazione della circonferenza nella seconda forma, si risale alle

coordinate del centro e al raggio per mezzo delle identità

p

a b 1 2 2

α = − a + b − 4c.

, β = − , r =

2 2 2

2.2.1. Problemi relativi alla circonferenza. Diamo alcuni metodi risolutivi per par-

ticolari problemi relativi alla circonferenza:

A) Intersezione tra circonferenza e retta

Data la circonferenza C e la retta r, la loro intersezione è data risolvendo il sistema

delle equazioni che le rappresentano. Tale sistema può avere:

(i) due soluzioni: la retta seca la circonferenza in due punti;

(ii) una soluzione: la retta è tangente alla circonferenza nel punto di intersezione;

(iii) nessuna soluzione: la retta è esterna alla circonferenza.

B) Intersezione tra due circonferenze

0 0 0

Date le circonferenze C e C , di centri C e C e di raggi r e r , la loro intersezione

è data dal sistema delle equazioni che le rappresentano. Detta d la distanza tra i

centri, tale sistema può avere: 0

(i) due soluzioni: le circonferenze si intersecano in due punti (e si ha d < r + r );

8 RICHIAMI DI MATEMATICA ELEMENTARE

0

(ii) una soluzione: in tal caso, se d = r + r , le circonferenze sono tangenti

0

esterne, mentre se d = |r − r | le circonferenze sono tangenti interne;

0

(iii) nessuna soluzione: in tal caso, se d > r + r le circonferenze sono disgiunte

0

esterne, se d < |r − r | le circonferenze sono disgiunte interne, mentre se d = 0 le

circonferenze sono concentriche.

C) Circonferenza passante per tre punti

Dati i tre punti A(x , y ), B(x , y ), C(x , y ), l’equazione della circonferenza pas-

1 1 2 2 3 3

sante per essi si ottiene risolvendo il sistema

 2 2

x + y + ax + by + c = 0

 1 1

1 1

2 2

x + y + ax + by + c = 0

(36) 2 2

2 2

 2 2

x + y + ax + by + c = 0

3 3

3 3

nelle incognite a, b, c.

D) Retta tangente ad una circonferenza passante per un punto

2 2

Sia C una circonferenza di equazione x + y + ax + by + c = 0, P (x , y ) un punto

0 0

nel piano (esterno o sulla circonferenza). Si osservi che per P passano infinite rette

di equazione r : y − y = m(x − x ), m ∈ R.

0 0

Per trovare quali tra queste rette sono tangenti alla circonferenza data si procede

al modo seguente:

(i) si scrive il sistema tra l’equazione di C e quella di r, ottenendo una equazione

di II grado in x a coefficienti dipendenti da m;

(ii) si impone che il discriminante di tale equazione sia uguale a zero, in modo

da ottenere una equazione nella sola incognita m;

(iii) si risolve quest’ultima equazione: le sue radici sono i coefficienti angolari

delle rette tangenti alla circonferenza data.

2.3. La parabola. La parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da una

retta fissa d, detta direttrice, e un punto fisso F , detto fuoco.

Una parabola è poi caratterizzata da altri due elementi: un asse di simmetria

s, perpendicolare alla direttrice e passante per il fuoco, e un vertice V , giacente

sull’asse di simmetria. L’equazione generale di una parabola, con asse di simmetria

parallelo all’asse delle ordinate, è 2

(37) y = ax + bx + c

e in tal caso, si ha per i suoi elementi carratteristici

¶ µ ¶

µ ∆ b 1 − ∆