Introduzione alla logica con il foglio elettronico: Fondamenti per un ragionamento corretto

A

Proposizione : (x – 1) è positivo invece di (x – 1) non è negativo

2 può essere anche nullo.

perché, in linea di principio, (x – 1)

Proposizione A: Il carbone è bianco

A

Proposizione : Il carbone è nero invece di il carbone non è bianco

Attività con gli studenti

L’attività ludica è molto utile per aiutare la comprensione della matematica, e la logica fornisce molti spunti

interessanti.

Ho scelto di presentare alcuni enigmi tratti dal libro di Smullyan ambientati sull’isola dei furfanti, dei cavalieri e dei

normali; ai ragazzi sono piaciuti, me ne hanno chiesti anche degli altri e ho provveduto a sottoporglieli.

Sono stato molto contento nel constatare che alcuni di loro hanno trovato le soluzioni in tempi piuttosto brevi; in un

caso appena ho finito di scrivere il testo alla lavagna…

L’isola dei cavalieri, dei furfanti e dei normali

a) Ci sono due persone, Aldo e Bruno, ognuna delle quali è o un cavaliere (dice sempre la verità) o un furfante

(mente sempre).

Aldo dice: “Almeno uno di noi è un furfante”.

Cosa sono Aldo e Bruno?

b) Aldo dice: “O io sono un furfante o Bruno è un cavaliere”.

Cosa sono Aldo e Bruno?

c) Aldo, Bruno e Carlo sono un cavaliere, un furfante e un normale (che qualche volta mente e altre volte dice la

verità), ma non necessariamente in quest’ordine.

Le loro affermazioni:

Aldo: “Io sono un normale”.

Bruno: “E’ vero”.

Carlo: “Io non sono un normale”.

Cosa sono Aldo, Bruno e Carlo?

Soluzioni ai quesiti precedenti

a) Aldo è un cavaliere e Bruno un furfante.

Questo è abbastanza semplice da risolvere; se Aldo mente allora nessuno dei due è un furfante, ma questo contraddice

il fatto che lui menta.

Se Aldo dice la verità, invece, è un cavaliere, e Bruno è un furfante, perché almeno uno dei due deve essere un

furfante.

b) La disgiunzione è vera se almeno una delle proposizioni è vera, falsa solo nel caso in cui entrambe siano false.

Se Aldo è un furfante la disgiunzione è falsa, quindi lui non può essere un furfante; è un cavaliere.

In tal caso dice la verità, quindi, essendo falsa “io sono un furfante”, deve essere vera almeno “Bruno è un cavaliere”;

dunque Bruno è un cavaliere.

c) Per quello che dice, Aldo non può essere un cavaliere.

Supponiamo sia normale, e dica la verità; allora anche Bruno dice la verità, ma non può essere anche lui normale,

quindi è un cavaliere.

In tal caso Carlo deve essere un furfante, ma direbbe la verità; dalla contraddizione nata segue che Aldo non è neanche

un normale, e quindi è un furfante.

Se Aldo è un furfante, allora Bruno mente, e deve essere un normale.

Carlo quindi deve essere per forza un cavaliere.

Connettivi logici in un foglio elettronico

Come foglio elettronico si è scelto di usare Excel, perché presente nel laboratorio di informatica che avremmo usato in

seguito.

Una soluzione “open source” come OpenOffice è altrettanto valida, perché:

• legge e scrive i files con il formato di Excel quasi perfettamente (tranne casi davvero molto particolari);

• usa come linguaggio di programmazione un dialetto Basic simile a Visual Basic for Applications (VBA) usato in

Excel;

• implementa funzioni, logiche e non, con sintassi identica a quelle di Excel.

Inoltre, dal punto di vista culturale i principi dell’open source sono altamente condivisibili e hanno un alto valore

educativo.

In Excel sono presenti quasi tutte le principali funzioni logiche; manca la disgiunzione esclusiva.

Funzione logica Esempio Notazione Excel

Congiunzione A e B E(A;B)

Disgiunzione (inclusiva) A o B O(A;B)

Negazione non A NON(A)

Ogni funzione logica restituisce il valore (stringa di testo) VERO o FALSO, e interpreta correttamente le parole VERO

e FALSO come valori logici (booleani).

Per esempio si può costruire una tavola di verità per la congiunzione in questo modo:

A B A e B A e B

VERO VERO VERO =E(A2;B2)

VERO FALSO FALSO =E(A3;B3)

FALSO VERO FALSO =E(A4;B4)

FALSO FALSO FALSO =E(A5;B5)

Nella penultima colonna c’è il risultato della formula scritta nell’ultima colonna.

Lezione 4 – Correzione degli esercizi assegnati

Commento di un brano sul libro di testo

Il primo esercizio assegnato riguardava la comprensione di un testo complesso che riportava le condizioni di una

polizza assicurativa.

Ho chiesto quale fosse il significato del brano, ed è nato uno scambio di battute abbastanza interessante.

Studente – Il brano ci vuole spiegare quelle frasi difficili.

Io – E lo schema logico riportato alla fine, allora? Come e da dove viene fuori?

S – Si prendono le proposizioni del brano unite da connettivi.

Io – Avete notato che vengono chiamate “proposizioni atomiche”? Che significa?

S – Non sanno cosa rispondere.

Io – Che significa atomo, oppure atomico? Che esplode?

Gli studenti sono perplessi, ma con l’aiuto della tutor riusciamo a concludere che atomo significa “la parte indivisibile”,

“la più piccola”. Quindi ho chiarito che le proposizioni composte sono costituite da proposizioni atomiche che ne

costituiscono le parti più piccole e non ulteriormente divisibili.

Tutor – Che differenza c’è tra il valore di verità di una proposizione composta e di una atomica?

S – Quelle atomiche si possono confrontare direttamente con la realtà, per quelle composte si devono valutare tutte le

possibilità con le tavole di verità.

Quindi, ho chiarito, lo schema riportato al termine della lettura si costruisce per astrazione, sostituendo una lettera ad

ogni proposizione atomica, quindi costruendo la figura di ragionamento e, infine, una tavola di verità. Così so cosa

posso aspettarmi in tutti i casi possibili.

Uno studente ha notato che lo schema che costruito non serviva solo a descrivere questa situazione ma poteva essere

adoperato anche in altri casi, purché le nuove proposizioni abbiano le stesse relazioni logiche fra di loro.

Proposizioni e valore di verità

Ho chiesto ad uno studente assente la volta precedente di provare a risolvere un esercizio che richiedeva di individuare

quali tra le frasi proposte fossero proposizioni; ha risposto correttamente.

Agli altri ho chiesto ogni volta di intervenire se non erano d’accordo.

Lo studente ha anche individuato una proposizione che era ben formata ma falsa; un errore che è possibile commettere è

quello di non considerare ben formata una proposizione falsa.

Un dubbio c’è stato solo sulla frase “Questa domanda è un po’ stupida”, che è stata considerata ben formata solo da uno

studente, che dopo una breve riflessione ha capito che non lo era, non essendo realmente controllabile (“è soggettiva”,

ha detto alla fine).

Infatti, ho detto, il mio giudizio può differire da quello di un altro, e quindi la frase non è vera o falsa per tutti.

In un altro esercizio si chiedeva di dire se le proposizioni elencate erano vere o false.

∉

Tutte risposte esatte; qualche difficoltà c’è stata solo su “– 3 Z”, che è risultata difficile da leggere per qualcuno, ma

in ogni caso molti no sapevano che insieme sia Z.

Ho ritenuto opportuno fare una breve digressione per chiarirlo, parlando di Z e Z , che uniti davano Z, e alla fine uno

+ –

studente ha detto “Sono gli interi positivi e negativi”.

Ho chiesto se unendo Z e Z si doveva includere anche lo zero; non hanno saputo rispondere.

+ –

Allora ho rappresentato alla lavagna una retta sulla quale ho segnato gli interi positivi e negativi da –3 a +3:

–3 –2 –1 +1 +2 +3

Ho chiesto che distanza c’è tra – 3 e – 2; la risposta è stata: 1.

E tra –1 e +1, che distanza c’è? La risposta è stata: 2; quindi, ho detto, se le cose stanno così lo zero ce lo devo mettere,

altrimenti gli intervalli tra numeri non sono tutti equispaziati, rimane un “buco” tra –1 e +1.

Tutto questo discorso l’ho fatto mantenendo un tono molto discorsivo, anche scherzando, in modo da far rilassare un

po’ i ragazzi.

Per “staccare” e far riposare i ragazzi ho fatto quindi leggere un brano nel quale un vecchietta vinceva molto denaro al

lotto con una previsione basata su un errore di calcolo; fattole notare l’errore, replicava dicendo che non poteva aver

sbagliato, perché aveva vinto usando il calcolo fatto.

Questa storiella ha comunque evidenziato come la logica, usata male, possa portare a conclusioni solo apparentemente

corrette.

Attività con gli studenti

Sul libro viene proposto un quesito: dagli indizi si deve scoprire chi sia l’assassino fra tre sospetti.

Alla soluzione gli studenti sono arrivati con un paio di strategie diverse, fra tutte le possibili.

Ho sottolineato che se si fa un’ipotesi su chi sia il colpevole si deve controllare che nessuno degli indizi la contraddica.

Abbiamo scritto insieme gli indizi in forma schematica, e ricavato la soluzione analizzando lo schema.

Lezione 5 – Uso di Excel: tavole di verità

Ho tenuto questa lezione nel laboratorio di informatica della scuola.

Gli studenti si sono divisi in coppie, e si sono distribuiti nelle postazioni di lavoro che occupano abitualmente, quando

lavorano con la loro insegnante (la mia tutor).

Usando la rete e il software presente ho brevemente ricordato agli studenti come si inseriscono le formule in Excel, e ho

iniziato la costruzione della tavola di verità della congiunzione, mostrando loro la struttura che dovevano darle.

A questo punto ho sbloccato i loro computer e li ho lasciati lavorare.

Quando avevano necessità di un consiglio chiamavano me o la tutor, che li indirizzavamo verso la soluzione, senza

naturalmente svolgere al loro posto il compito assegnato.

Ho fatto rappresentare le seguenti tavole di verità:

1. tavola della congiunzione

2. tavola della disgiunzione inclusiva

3. tavola della negazione

4. tavola della proposizione “Domani pioverà o nevicherà, ma io andrò a scuola”, che è del tipo “(A o B) e C”

Terminate le prime tre ho chiesto che le formattassero in maniera gradevole, secondo i gusti di ciascuno.

Quasi tutti i gruppi mi hanno mostrato il lavoro fatto; alcuni hanno puntato sul lato estetico, altri sui contrasti di colore,

altri ancora su un aspetto “professionale”, a seconda del carattere di ciascuno.

Infine ho proposto di costruire la quarta tavola.

Su questa hanno avuto qualche diffico