Trovare e studiare il luogo dei punti tale che il perimetro del triangolo ABC sia 5, dove...

Trovare e studiare il luogo dei punti tale che il perimetro del triangolo ABC sia 5, dove A(1,1), B(3,1) Il triangolo stackrel(Delta)(ABC) ha un solo lato definito e fisso, che è ar{AB} Prendiamo le coordinate generiche del punto C e chi

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Trovare e studiare il luogo dei punti tale che il perimetro del triangolo ABC sia 5, dove A(1,1), B(3,1)

Il triangolo

[math]stackrel(Delta)(ABC)[/math]
ha un solo lato definito e fisso, che è
[math]\bar{AB}[/math]

Prendiamo le coordinate generiche del punto

[math]C[/math]
e chiamiamole
[math]C(x,y)[/math]

Il lato

[math]\bar{AB}[/math]
varrà 

[math]\bar{AB}=2[/math]

Questo è banale: basta eseguire la differenza delle ascisse, dal momento che i due punti hanno la stessa ordinata.

Un disegno all'interno di un piano cartesiano può spiegare il tutto senza problemi.

Per la formula che fornisce la distanza tra due punti, il lato

[math]\bar{AC}[/math]
varrà 

[math]\bar{AC}=\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}[/math]

E allo stesso modo il lato

[math]\bar{BC}[/math]
può esser così scritto

[math]\bar{BC}=\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}[/math]

Il problema chiede il luogo dei punti per il quale vale

[math]\bar{BC}+\bar{AC}+\bar{AB}=5[/math]

ovvero

[math]\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}+\sqrt((x-1)^2+(y-1)^2)+2=5[/math]

[math]\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}+\sqrt((x-1)^2+(y-1)^2)=3[/math]

[math]\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=-\sqrt((x-3)^2+(y-1)^2)+3[/math]

Elevando al quadrato entrambi i membri, otteniamo

[math](x-1)^2+(y-1)^2=9+(x-3)^2+(y-1)^2-6\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}[/math]

Sommando e sottraendo ciò che possiamo

[math](x-1)^2=9+(x-3)^2-6\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}[/math]

[math]-(x-1)^2+9+(x-3)^2=6\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}[/math]

svolgendo le parentesi

[math]6\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}=17-4x[/math]

Elevando nuovamente e svolgendo delle semplici somme otteniamo

[math]20x^2+36y^2-80x-72y+71=0[/math]

Questo luogo è un ellisse, la quale contiene tutti i punti del piano che soddisfano la proprietà  del problema.

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