Triangoli - Teoremi vari

1) TEOREMA: IL SEGMENTO CHE UNISCE I PUNTI MEDI DI DUE LATI DI UN

TRIANGOLO E’ PARALLELO AL TERZO LATO ED UGUALE ALLA META’ DI

QUESTO

C M

N P

A B

Assumendo che:

AN = NC

CM = MB

PB//NA

Si vuole dimostrare che:

MN // AB

MN = ½ AB

Consideriamo i triangoli MBP e CMN.

Essi sono uguali, perché:

BM = CM;

CMN = PMB, poiché opposti al vertice,

MBP = MCN, poiché alterni interni, formati da due rette parallele tagliate da una retta

trasversale.

Essendo uguali i due triangoli, NM = MP.

ABPN è quindi un parallelogramma → NM //AB.

Di conseguenza: NP = AB → NM = NP/2 = ½ AB.

2) TEOREMA:

La seguente dimostrazione si basa su un precedente teorema dei parallelogrammi che qui

di seguito non verrà però dimostrata, ma accettata come ipotesi:

“SE IN TRIANGOLO CKB SI CONDUCE PER IL PUNTO MEDIO M DEL LATO CB LA RETTA

MN PARALLELA A BK, QUESTA TAGLIA IL LATO CK NEL SUO PUNTO MEDIO E”

Detto questo, tracciato il triangolo CKB, costruiamo a partire dal lato CK un

parallelogramma, i due lati DC e AK hanno lunghezza a scelta. Il segmento MN

congiunge i punti medi dei lati CB e AD. C

D M

N B

A K

E’ ovvio che, per come è stata costruita la figura:

DN = NA

CM = MB

CK//AD

Vogliamo dimostrare che il segmento NM è la metà della somma di DC ed AB.

Per il precedente teorema: CE = EK.

Inoltre, secondo il teorema che afferma che “IL SEGMENTO CHE UNISCE I PUNTI MEDI DI

DUE LATI DI UN TRIANGOLO E’ PARALLELO AL TERZO LATO ED UGUALE ALLA META’ DI

QUESTO”:

EM//KB

EM = ½ KB

Ora, NM = NE + EM.

Quindi NM = ½ (DC+ AK) + ½ KB

NM = ½ ( DC + AK + KB) = ½ (DC + AB).

3) TEOREMA: L’ORTOCENTRO E’ IL PUNTO D’INCONTRO DELLE ALTEZZE DI

UN TRIANGOLO

Disegnato il triangolo ABC, si tracciano da A, B e C le parallele ad AB, CB ed AC.

Chiamiamo R,S e P i punti di incontro di queste rette.

C R

P O B

A S

Poiché PR//AB, PS//CB e RS//AC, PCBA è certamente un parallelogramma. Quindi PC

= AB.

Anche ABRC è un parallelogramma. Perciò CR = AB.

Se ne conclude che PC = CR.

Consideriamo ora il triangolo PRS.

Tracciamo da C l’asse di PR. CH è dunque l’altezza del triangolo ABC relativa al lato AB.

Tracciamo anche gli assi di RS e PS, che sono le altezza dei lati AC e CB.

Si sa che gli assi del triangolo si incontrano in un unico punto.

Questo vale allora anche per le altezze del triangolo ABC.

4) TEOREMA: IL BARICENTRO E’ IL PUNTO D’INCONTRO DELLE MEDIANE DI UN

TRIANGOLO. QUESTO PUNTO DIVIDE CIASCUNA DI ESSE IN DUE PARTI,

DELLE QUALI QUELLA CHE CONTIENE IL VERTICE E’ DOPPIA DELL’ALTRA

C N

M G

P Q B

A

Disegnato il triangolo ABC, indichiamo con M ed N i punti medi dei lati AC e BC.

Esiste un precedente teorema che afferma che:

“SE IN TRIANGOLO ABC SI CONDUCE PER IL PUNTO MEDIO M DEL LATO CB LA RETTA

MN PARALLELA AD AB, QUESTA TAGLIA IL LATO AC NEL SUO PUNTO MEDIO N”

Grazie poi ad un altro noto teorema*, possiamo concludere che MN è parallelo ad AB e

pari alla sua metà.

Chiamiamo G il punto d’incontro delle mediane.

Troviamo su AG il punto P tale da esserne il punto medio: AP = PG.

Troviamo invece su GB il punto Q, con lo stesso criterio.

Unendo i punti M,N, P e Q si trova perciò il parallelogramma NMPQ. Infatti PQ//AB//MN

poiché P e Q sono i punti medi di GB e AG. Inoltre PQ = MN.

Essendo un parallelogramma, le diagonali si taglieranno a metà.

Quindi:

PG = GN = ½ AG.

Il teorema è dimostrato.

*Richiamo al teorema:

“IL SEGMENTO CHE UNISCE I PUNTI MEDI DI DUE LATI DI UN TRIANGOLO E’ PARALLELO

AL TERZO LATO ED UGUALE ALLA META’ DI QUESTO”

C M

N P

A B