Si determini una traslazione che trasformi la curva di equazione
[math]x^2+4y^2-4x+4y-11=0[/math]
in un' ellisse con centro nell'origine.
Si può usare il metodo del completamento dei quadrati.
[math]x^2+4y^2-4x+4y-11=0[/math]
Notiamo che abbiamo
[math]x^2-4x[/math]
, questa espressione può essere scritta facendo comparire un quadrato se sommiamo e sottraiamo [math]4[/math]
, ovvero
[math]x^2-4x+4-4=(x-2)^2-4[/math]
Poi abbiamo
[math]4y^2+4y[/math]
e qui possiamo invece fare lo stesso lavoro con +1, quindi
[math]4y^2+4y+1-1=(2y+1)^2-1[/math]
o ancor meglio [math]4(y-1/2)^2-1[/math]
Pertanto sostituendo queste espressioni equivalenti ottengo
[math][(x-2)^2-4]+[4(y-1/2)^2-1]-11[/math]
e operando la traslazione
[math]\begin{cases} Y=y-1/2 \\ X=x-2 \ \end{cases}[/math]
otteniamo nel nuovo riferimento, dopo banali conti,
[math]X^2+4Y^2-16=0[/math]
e questa è un'ellisse con centro nell'origine del nuovo sistema di riferimento.
FINE
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