Trasformazioni geometriche nel piano

A

corrispondenti A, , del centro U e del punto comune alla retta A, u; tale valore è

A ' A '

o

caratteristica dell’omologia

detto .

A A

Nel nostro caso coincide con e quindi si ha:



o AU 1

 

(1) .

(A, A ', U) A'U k

La (1) si può ricavare anche in un modo più elementare. Infatti, poiché in una omotetia rette corrispondenti

sono parallele, dalla Fig. 31.1 si vede che per il teorema di Talete si ha:

AU CU 1

   

(2) ... cos t

A ' U C' U k avente l’origine

Consideriamo ora un riferimento cartesiano Oxy O coincidente con U. Proiettiamo

ortogonalmente i punti A, sugli assi x,y e indichiamo con x, e y, le ordinate dei punti

A ' x ' y '

proiezione. AU 1



Allora, dalla si ricava:

A'U k

y 1

x 1

 

(3) e ,

x' k y' k 55



 x ' kx



da cui (4) 

 y ' ky .

Le (4) sono le equazioni di una omotetia avente il centro nell’origine O del riferimento cartesiano. La

dimostrazione, come si vede, non ha richiesto l’aiuto di alcun esercizio chiarificatore.

Nel prossimo paragrafo daremo una dimostrazione analitica del presente teorema; essa ricalca fedelmente la

dimostrazione sintetica ora sviluppata. a

34. Le omotetie come caso particolare delle omologie ( versione)

2

 , determinare l’equazione

Dato su un piano un sistema di coordinate cartesiane omogenee Ox x x

1 2 3 



dell’omologia di centro C(4,0,1), avente come asse u la retta impropria del piano e come

x 0

(P) 3

   

coppia di punti corrispondenti i punti e .

A( 4,0,1) A' (A) O(0,0,1)

Si dimostri anche che una omologia di questo tipo si riduce ad una omotetia di centro C .

Svolgimento  

troviamo il suo corrispondente

Sia P(a,b,c) un punto generico dell’omologia; . La costruzione

P ' (P)

di questa omologia è indicata in fig.15. sull’asse dell’omologia,

Notiamo anzitutto che le rette corrispondenti ed , dovendosi incontrare

r r

AP A 'P '

che è la retta impropria, sono fra loro parallele .

r

Tracciamo la retta e troviamo il suo punto di intersezione M con la retta impropria. Si ha:

AP

x x x

1 2 3 

        

r 4 0 1 0 0 ax 4bx 0 bx 4cx 0

retta , ,

AP 2 3 1 2

a b c    

r : bx (a 4c)x 4bx 0

(1) .

AP 1 2 3



 x 0

      

3



M x r bx (a 4c)x 0 .

   

3 AP 1 2

 bx (a 4c)x 4bx 0,

1 2 3

   

x a 4c x b x 0

Soluzione , , .

1 3

2 56

Il punto improprio M ha le coordinate

 

(2) .

M (a 4c, b, 0)

Troviamo ora la retta ( coincide con O) , che è la parallela per alla retta . Si ha:

r

A 'M A ' A ' AP

x x x

1 2 3

         

r 0 0 1 0, 0 0 (a 4c)x 0 0 bx 0 .

A 'M 2 1



a 4c b 0   

(3) Retta .

r : bx (a 4c)x 0

A 'M 1 2 e trovo il corrispondente P’ del punto P. Si ha:

Trovo ora la retta , la interseco con la retta

r r

CA A 'M

x x x

1 2 3

        

r 4 0 1 0, 0 ax 4bx 0 bx 4cx 0 ,

CP 2 3 1 2

a b c      ; quindi:

r : ax 4bx bx 4cx 0

CP 2 3 1 2

    

(4) : .

r bx (a 4c)x 4bx 0

1 2 3

CP

Intersecando, come detto, la retta A’M con la retta CP si trova . Si ha

P '

  

 bx (a 4c)x 0

   1 2



P ' r r

(5)    

A 'M CP  bx (a 4c)x 4bx 0 .

1 2 3

Sottraendo la prima equazione del sistema dalla seconda si ha:

     , da cui

ax 4cx ax 4cx 4bx 0

2 2 2 2 3

   

, ossia (6) .

8cx 4bx 0 2cx bx 0

2 3 2 3

 

La (6) ha la soluzione , .

x b x 2c

2 3

Sostituendo i valori di queste coordinate nella prima eq. del sistema (5) si ha:

    

bx (a 4c)b 0 x a 4c

, da cui .

1 1

Abbiamo trovato che le coordinate del punto sono:

P '

   

(7) .

P' (P) (a 4c, b, 2c) P(x , x , x )

Sostituendo ad a,b,c le coordinate di un generico punto della omologia, si trova che questa

1 2 3

ha le equazioni:   

'

x x 4x

1 1 3



 

'

 x x

(T) 2 2



 

'

x 2x ,

 3 3



ove è una costante non nulla .

Verifichiamo l’esattezza delle equazioni dell’omologia trovando il corrispondente del centro C(4,0,1) , che

è un punto unito dell’omologia . Si ha:

       

' ' '

x 4 4 8 x 0 x 2

(9) , , .

1 2 3

57

' ' '

Poiché le coordinate ( e ) sono determinate a meno di un comune coefficiente di

x , x , x x , x , x

1 2 3 1 2 3

 

proporzionalità non nullo, possiamo porre .

2

Si trova che il corrispondente del punto C(4,0,1) è , che coincide con esso. Ne segue che il

C'(4,0,1)

punto C è unito.

Consideriamo ora le due coppie di punti corrispondenti e .

(A, A ') (P, P ')

Dalla fig. 15 si vede che per il teorema di Talete si ha:

CA ' CP '

   

k

(9) , con e .

k R k 0

O

CA CP

Ciò ci dice che la corrispondenza di punti indotta dalla nostra omologia è una omotetia diretta di centro C e

di rapporto k .

Osservando i triangoli CAP e della costruzione geometrica, si vede anche che per il citato teorema

CA 'P '

di Talete si ha:  

(10) ,

AA ' k PP '

cioè la nostra corrispondenza trasforma rette in rette parallele. Come sappiamo, questa è un’altra proprietà

delle omotetie. CA ' 1

 

I dati assegnati dal problema ci permettono subito di dire che .

k CA 2 

notevole proprietà ; cioè l’omotetia (T) trasforma la circonferenza

Mostriamo che sussiste una di centro

 



A e raggio nella circonferenza di centro e raggio , ove abbiamo preso intenzionalmente

R 4 A ' r 2

'

i raggi nel rapporto r 1

  .

k

R 2

Le equaz. delle due circonferenze , in coordinate omogenee, sono

      

2 2 2 2 2

: x x 8x x 0 ' : x x 4x .

(11) 1 2 1 3 1 2 3   

1

Riprendiamo la trasformazione T e troviamo la sua trasformazione inversa ponendo . Subito

T 2

si ottiene :

    

1 ' ' ' '

x 2x 4x x 2x x x

( ) : , , .

T 1 1 3 2 2 3 3



Sostituendo nell’equazione di si ha:

     

2

2

' ' ' ' ' '

(2x 4x ) 4x 8 (2x 4x )x 0 .

1 3 2 1 3 3

Svolgendo i calcoli e semplificando si ha:

  

2 2

' ' ' '

4x 4x 16x x 0 .

1 2 1 3  

' ' ' '

x x x ' x x y '

Semplifichiamo e passiamo a coordinate omogenee ponendo e . Si ottiene

1 3 2 3

   



'2 '2 2 2

(12) , o se si vuole : .

x y 4 x y 4

'

 

Si trova così che la trasformata di è la circonferenza omotetica .

'

58 

Si dimostra facilmente che le rette tangenti alla circonferenza condotte dal centro di omologia C(4,0)

'

 

sono tangenti anche a . In particolare, la tangente di coeff. angolare positivo tocca nel punto

'

  

 e la circonferenza nel punto .

S(1, 3) T( 2, 2 3)

35. Esercizio su una omologia speciale

 

, determinare l’omologia speciale

Dato sul piano un riferimento cartesiano omogeneo Ox x x

1 2 3

  dell’asse e, come

avente come asse la retta r di equazione , come centro il punto C(2,1,1)

x 2x 0

1 2

corrispondenti, i punti A(1,1,1)

  

e della retta (Beltrametti; Geom. Proiett., pag. 166) .

(A) X (1,0,0) x x

 1 3

Soluzione . 

Sia P(a,b,c) un punto generico del piano; il suo corrispondente dovrà cadere sulla retta r(CP), che

(P)

unisce il punto P con il centro dell’omologia (fig. 16) .

Tenendo presente la costruzione grafica generale di una omologia ( vedi eserci-

zio al N. seguente) tracciamo le rette CP e AP:

x x x

1 2 3

        

r 2 1 1 0

retta , ,

cx ax 2bx ax bx 2cx 0

CP 1 2 3 3 1 2

a b c      

(1) ;

r : (c b)x (a 2c)x (2b a)x 0

CP 1 2 3

x x x

1 2 3

        

r 1 1 1 0

(2) retta , .

r : (c b)x (a c)x (b a)x 0

AP AP 1 2 3

a b c  

con l’asse

r x 2x 0

Troviamo il punto M di intersezione della retta :

AP 1 2



 x 2x

   1 2



M r r

(3)     

AP  (c b)x (a c)x (a b)x ;

1 2 3

59

        

(3’) , .

2(c b)x (a c)x (a b)x (c a 2b)x (a b)x

2 2 3 2 3

   

da cui .

(c a 2b)x (a b)x

2 3

    

La soluzione dell’eq. è : , .

x a 2b x c a 2b

3

2

Le coordinate del punto di intersezione M sono pertanto:

 

    

M 2(a b), a b, a 2b c

(4) .  

Troviamo ora l’equazione della retta passante per il punto M e per il punto ,

A (1,0,0) (A)

 

corrispondente del punto A(1,1,1); si tratta della parallela condotta dal punto M alla retta . Si ha:

x x

1 3

x x x

1 2 3

     

r 2(a b) a b a 2b c 0

(5) ; da cui

MA ' 1 0 0

   

(5’) .

x (a 2b c) (a b)x

2 3



Troviamo il punto di intersezione della retta con la retta . Si ha

r r

(P) MA '

CP

   

 (a 2b c)x (a b)x

    2 3



(A) r r

(6)      

CP MA '  (c b)x (a 2c)x (2b a)x 0 .

1 2 3

   

Dalla si ricava

(6 ) x x (a 2b c) (a b)

1 3 2

e sostituendo nella si ha:

(6 )

2  

(a 2b c)

       , da cui

(c b)x (a 2c)x (2b a) x 0



1 2 2

a b

          

(c b)(a b)x (a 2c)(a b)x (2b a) (a 2b c)x 0 ,

1 2 2

      

2 2 2

(ac cb ab b )x (4b 3ac 3ab 4bc)x

segue (7) .

2