Punti notevoli del quadrangolo: Uno studio sistematico sulle loro proprietà e connessioni

A A A O O O

1 2 3 2 1 4

↔

A A A O O O

1 2 4 2 1 3

↔

A A A O O O

1 3 4 2 4 3

↔

A A A O O O

2 3 4 1 4 3

e considerandone i lati comuni, concludiamo che la similitudine è la stessa.

Definizione: l’O-centro di un trapezio A è il centro della similitudine

o(A) che manda A nel suo trapezio dei circocentri o(A) = O O O O .

2 1 4 3

Proposizione 1.3 L’O-centro è tale che [A OA ] = [A A A ] + [A A A ].

i j i j i j

h k

Sia, infatti, B l’intersezione dei cerchi (A OA ) e (O OO ) diverso da

ij 1 4 4 1

O e calcoliamo:

[A OA ] = [O OO ] = [O B O ] = [B O O ] + [O O B ] =

1 4 4 1 4 14 1 14 4 1 4 1 14

= [A A A ] + [A O A ] = [A A A ] + [A A A ] + [A A A ] + [A A A ] =

1 4 13 23 1 4 1 2 3 1 3 2 2 3 4 3 2 4

= [A A A ] + [A A A ]

1 2 4 1 3 4

Tale proprietà, dimostrata in generale per l’O-centro di quadrangoli al

6.3 di [7], prova che la nostra definizione è compatibile con quella di [7].

1.3 H-centro 13

1.3 H-centro 2

In un articolo di M. Happach, [2], compare la seguente costruzione Si scelga

in un quadrangolo qualunque A = A A A A una coppia di lati opposti , per

1 2 3 4

esempio, A A e A A . Allora il quadrangolo A = A , A , A , A

1 2 3 4 12,34 1,2 2,1 3,4 4,3

è negativamente simile ad A secondo la mappa:

7→

A A

1 1,2

7→

A A

2 2,1

7→

A A

3 3,4

7→

A A

4 4,3

Scegliendo altre due coppie di lati opposti si ottengono altri due qua-

drangoli A e A . Chiamiamo questi tre quadrangoli quadrangoli

13,24 14,23

pedali di A. Si prova in [2] che

Proposizione 1.4 I tre quadrangoli pedali sono positivamente simili, con

un comune centro di similitudine.

Si vede facilmente che questo centro di similitudine è un punto notevole

di ognuno dei tre quadrangoli pedali e anche del quadrangolo A. Diamo la

seguente

Definizione: il centro di similitudine dei tre quadrangoli pedali di A è il

punto notevole di A che chiameremo il suo H-centro.

Ora cerchiamo altre proprietà dell’H-centro. Consideriamo i quattro

triangoli pedali :

• A A A ;

1,2 1,3 1,4

• A A A ;

2,1 2,3 2,4

• A A A ;

3,1 3,2 3,4

• A A A .

4,1 4,2 4,3

Nel R.A. Johnson, [3], teoremi 395, 396, 397, sono dimostrate le seguenti

tre proposizioni, di cui riporteremo anche le semplici dimostrazioni.

Proposizione 1.5 I triangoli pedali sono positivamente simili.

2 Ricordiamo qui che A indica la proiezione ortogonale di A sulla retta A A .

i,j i h k

14 Alcuni Punti Notevoli e Similitudini del Trapezio

3

La dimostrazione sfrutta l’equazione di Miquel per un triangolo A A A

1 2 3

4 :

sui cui lati siano stati presi i punti P , P , P

1 2 3

[A P A ] = [A A A ] + [P P P ]

2 3 2 1 3 2 1 3

Allora valgono: [A A A ] = [A A A ] + [A A A ]

1,2 1,3 1,4 2 1 4 4 3 2

[A A A ] = [A A A ] + [A A A ]

3,4 3,1 3,2 4 3 2 2 1 4

Inoltre: [A A A ] + [A A A ] = [A A A ] + [A A A ]

2 1 4 4 3 2 1 2 3 3 4 1

e dunque anche [A A A ] e [A A A ] sono uguali ai due precedenti.

2,1 2,4 2,3 4,3 4,2 4,1

Proposizione 1.6 I quattro cerchi dei nove punti dei triangoli complemen-

tari, cioè A A A , hanno in comune un punto P .

ij jh hi

Chiameremo i cerchi dei nove punti anche nove-cerchi nel corso della

trattazione. Sia P l’intersezione dei nove-cerchi di T e T diversa da A .

1 3 24

Consideriamo le seguenti equazioni sugli angoli orientati:

[A A A ] = [A A A ] = [A P A ]

1 2 4 24 14 12 24 12

[A A A ] = [A A A ] = [A P A ]

4 2 3 23 34 42 23 42

Sommando membro a membro otteniamo:

[A A A ] = [A A A ] = [A A A ]+[A A A ] = [A P A ]+[A P A ] = [A P A ]

23 13 12 1 2 3 1 2 4 4 2 3 24 12 23 42 23 12

che dimostra che P appartiene anche al nove-cerchio di T . Analogamente

4

si prova che P appartiene anche al nove-cerchio di T .

2

Proposizione 1.7 I circocerchi dei triangoli pedali considerati sopra, sono

concorrenti in P , che è dunque centro delle similitudini tra i triangoli pedali.

Infatti, per esempio,

[A P A ] = [A P A ] + [A P A ] = [A A A ] + [A A A ] =

2,4 2,1 2,4 23 23 2,1 2,4 13 23 23 34 2,1

= [A A , A A ] + [A A , A A ] = [A A A ] + [A A A ] =

1 3 1 2 2 4 4 3 4 2 1 1 3 4

[A A A ]

2,4 2,3 2,1

Ora dimostriamo che il punto P coincide con l’H-centro del trapezio A,

definito come centro delle similitudini tra i trapezi delle proiezioni (propo-

sizione 1.4).

3 L’equazione è la 186 in [3].

4 Allora esiste un punto P comune ai tre cerchi (A P P )

i j h

1.4 N -centro 15

Proposizione 1.8 P coincide con l’H-centro di A.

Dimostriamo che H vede i lati corrispondenti dei triangoli pedali sotto

lo stesso angolo. Questo è sufficiente per affermare che H è anche il centro

di similitudine dei triangoli pedali e dunque coincide con P .

Sappiamo che [A HA ] = [A HA ], perchè angoli tra vertici cor-

2,4 2,1 3,4 3,1

rispondenti secondo la similitudine positiva che manda A , A , A , A

1,2 2,1 3,4 4,3

in A , A , A , A rispettivamente. Inoltre [A HA ] = [A HA ],

1,3 2,4 3,1 4,2 3,4 3,1 4,3 4,2

perchè differenze degli angoli rispettivamente eguali [A HA ]−[A HA ]

3,4 4,3 3,1 4,3

−

e [A HA ] [A HA ]

3,1 4,2 3,1 4,3

Dunque H vede i lati corrispondenti A A , A A , A A , A A

2,4 2,1 3,1 3,4 4,2 4,3 1,3 1,2

sotto angoli eguali. In modo analogo si ottiene che H vede ogni quadrupla

di lati corrispondenti dei triangoli pedali sotto angoli eguali. Allora H è il

centro delle similitudini tra questi quattro triangoli, che avevamo chiamato

P . Abbiamo dimostrato che H coincide con P .

5

Possiamo anche facilmente calcolare [A HA ] in funzione degli angoli

2,4 2,1

di A: −[A −[A

A A ] = [A A A ] = A A ]

1,3 2,4 3 4,2 2,4 1,3 4 2 1

[A HA ] = [A A , A A ] = [A A A ] + [A A A ] =

2,4 2,1 2,4 1,3 3 4 1,3 2,4 3 2,4 3 4

= [A A A ] + [A A A ]

4 2 1 1 3 4

Le proposizioni precedenti provano che la definizione di H-centro qui

usata è coerente con quella di [7].

1.4 N -centro

Analogamente a quanto fatto per i circocentri dei triangoli complementari,

ora consideriamo i centri N dei nove-cerchi dei triangoli complementari.

i

Proposizione 1.9 I punti N sono i vertici di un trapezio negativamente

i

simile ad A.

Consideriamo la mappa: 7→

A N

1 2

7 →

A N

2 1

7 →

A N

3 4

7 →

A N

4 3

Dimostriamo che tutti gli angoli corrispondenti sono congruenti. Calco-

liamo, per esempio,

[N N N ] = [A P A ] = [A A A ] = [A A A ]

2 4 1 13 23 13 12 23 1 3 2

5 Questo calcolo non è richiesto dalla dimostrazione.

16 Alcuni Punti Notevoli e Similitudini del Trapezio

dove abbiamo usato la proprietà dei fasci di circonferenze di avere l’asse

radicale perpendicolare all’asse centrale. Analogamente

[N N N ] = [A A A ]

3 2 4 4 2 3

e dunque [N N N ] = [A A A ]

3 2 1 4 1 2

Dunque vale [N N N ] = [A A A ]

3 2 1 4 2 3

Questo vale allo stesso modo per tutti gli altri angoli.

Definizione: il centro N della similitudine che manda A in n(A) si

chiamerà l’N -centro di A.

N è un punto notevole di A. Anche l’O-centro di n(A) è un punto

notevole di A, di cui ora studiamo alcune proprietà.

Proposizione 1.10 H è l’O-centro del trapezio n(A), cioè H(A) = O(n(A)).

Tale proposizione è la 8.5 in [5], a cui rimandiamo per la dimostrazione.

Proposizione 1.11 La normale dal baricentro G al lato A A dimezza il

i j

segmento N N .

h k

Tale proposizione è dimostrata in [5] al 3.3 e qui riportiamo la semplice

dimostrazione.

Essendo A A una corda del cerchio dei nove punti di T , parallela

12 24 3

A +A A +A

a A A , allora (N ) = ( ) . Analogamente (N ) = ( ) .

14 24 13 23

1 4 3 12 12 4 12 12

2 2

Ne segue A + A A + A

N + N 13 23 14 24

3 4

( ) = ( ) + ( ) =

12 12 12

2 2 2

A + A A + A G + G

14 23 12 12

13 24 ) + ( ) = ( ) = G

=( 12 12 12 12

2 2 2

Proposizione 1.12 G = H(n(A))

Basta mostrare, come al 4.1 di [5], che il cerchio dei nove punti di qualsiasi

triangolo complementare di n(A) passa per G.

Per esempio, [N GN ] = [A A , A A ] =

14 34 3 2 2 1

= [A A A ] = [N N N ] = [N N N ]

3 2 1 3 4 1 14 13 34

1.5 Punto J 17

∈

Proposizione 1.13 G N O

Anche questa proposizione vale per il quadrangolo in generale ed è con-

tenuta in [5] al 11.1.

Nell’omotetia sono allineati il centro N e i punti corrispondenti O(A)

e O(n(n(A))). Ricordiamo che O(n(A)) = H per definizione e dunque

O(n(n(A))) = H(n(A)) = G, per la proposizione precedente.

1.4.1 Alcune Proprietà di H

Rielenchiamo brevemente le proprietà dell’H-centro fin’ora osservate.

1. H è il centro delle similitudini positive tra i tre trapezi pedali;

2. H è punto d’intersezione comune dei quattro cerchi dei nove punti dei

triangoli complementari, cioè A A A ;

ij jh hi

3. H è centro delle similitudini positive tra i quattro triangoli pedali;

4. H è l’O-centro del trapezio dei nove-centri, quindi [N HN ] = [N N N ]+

i j i j

h

[N N N ].

i j

k

1.5 Punto J

Definiamo ora il punto notevole J per il trapezio come H-centro del trapezio

o(A) dei circocentri dei triangoli complementari.

Dimostreremo con la proposizione 2.1 che A viene mandato in o(A) tra-

π

mite un’omotetia e una rotazione intorno ad O di e il triangolo notevole

2

OJH è rettangolo (proposizioni 2.4 e 2.5). Inoltre dimostreremo nella pro-

posizione 2.6 che il triangolo OGH è isoscele sulla base OH. Allora abbiamo

che GH = GO è il raggio del circocerchio di OJH, allora GH = GO = GJ,

G

e quindi J = H . Cioè si puó ottenere J da H e G riflettendo il primo

punto sul secondo. Questo dimostra che la definizione di J(A) qui data è

compatibile con quella al paragrafo 3 di [7].

1.6 Quadrilateri Complementari e Punto di Mi-

quel

A questo punto dobbiamo ricordare le nozioni di quadrangolo e di quadrilate-

ro completo. In un quadrangolo vi sono sei lati, cioè rette che congiungono i

∈ {1,

quattro punti A A , con i, j 2, 3, 4}. Un quadrilatero completo, invece,

i j

{r }

è un insieme Q = , r , r , r di quattro rette r , dette lati di Q.

1 2 3 4 i

Se in un quadrangolo A = A A A A si ignora una coppia di lati opposti

i j h k

A A , A A , si ottiene un quadrilatero che chiameremo complementare di A

i j h k

e indicheremo con Q . Cosı́, per esempio, Q ha per lati le rette

13,24

ij,hk

18 Alcuni Punti Notevoli e Similitudini del Trapezio

A A , A A , A A , A A . Gli altri due quadrilateri complementari di A

1 2 2 3 3 4 4 1

sono Q e Q .

12,34 14,23

Riassumiamo le nozioni sui quadrilateri Q = r r r r c