Spirali triangolari e quadrate

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Bono Marco Spirali triangolari e quadrate

Spirali “triangolari” e “quadrate”

Spirali “triangolari”

Proviamo a costruire delle spirali triangolari: per iniziare partiamo da un solo punto, come nella

figura…

Aggiungiamo ora altri due punti …

Quindi tre punti sul lato destro in alto …

E procedendo allo stesso modo possiamo costruire una spirale “triangolare” ….

E così via; ovviamente, dalla costruzione, il numero di punti di ogni triangolo successivo è uguale al

numero di punti del triangolo precedente più la lunghezza del lato del triangolo precedente

aumentata di uno.

Ossia, il numero di punti del triangolo di lato n è dato da:

Σ i

i=1,n www.matematicamente.it

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Spirali “quadrate”

Proviamo a costruire ora delle spirali quadrate: per iniziare partiamo da un solo punto, come nella

figura…

Costruiamo un quadrato con la seguente regola: spostiamo il punto in basso e aggiungiamo due

punti a lato, così ….

Ora passiamo al quadrato successivo, applicando la stessa regola … un po’ modificata, ossia

copiamo il lato del quadrato in alto ed aggiungiamone un altro, più lungo di un’unità a sinistra. Il

nuovo quadrato diventa …

Proseguendo con la regola indicata possiamo ottenere i quadrati successivi ..

Volendo esprimere la regola in formato matematico si ottiene la formula seguente:

Q = 1 + (1+2) + (2+3) + (3+4) + ….

Da questa formula risulta evidente che i numeri nelle parentesi sono i successivi numeri dispari e

quindi, per passare da un quadrato all’altro, occorre sommare un numero dispari.

Se raggruppiamo i numeri della formula precedente in modo diverso otteniamo: www.matematicamente.it

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Q = (1+1) + (2+2) + (3+3) + …. + (n+n) + (n+1)

Ossia : Σ Σ

i i + (Σ i

+ (n+1) = + n+1)

Q = 2*

i=1,n i=1,n i=1,n

Σ Σ

i i + n+1

Ma è l’n-esimo numero triangolare, mentre è l’n+1-esimo numero

i=1,n i=1,n

triangolare, quindi un quadrato è esprimibile come somma di due numeri triangolari successivi.

D’altra parte è possibile dimostrare questa proprietà anche in modo grafico:

= www.matematicamente.it

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Piramidi di palle

Piramidi quadrate

Immaginiamo di disporre di un certo numero di palle di cannone e, per il nostro amore dell’ordine,

di volerle accatastare in modo da occupare meno spazio.

Come prima idea proviamo a costruire delle piramidi a base quadrata; iniziamo quindi a formare il

primo piano di palle: un quadrato di lato … diciamo 5

Ora passiamo al secondo piano; queste palle andranno ad occupare gli avvallamenti che si trovano

in mezzo a quattro palle contigue. In questo modo il secondo piano sarà un quadrato di lato 4:

Che, sovrapposto al primo piano inizia a formare la piramide:

Ora passiamo al terzo piano; queste palle andranno ad occupare gli avvallamenti che si trovano in

mezzo a quattro palle contigue. In questo modo il terzo sarà un quadrato di lato 3: www.matematicamente.it

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E la piramide diventa:

E, continuando così, la piramide finale diventa:

Quante palle siamo riusciti ad ordinare?

E’ facile: abbiamo sovrapposto 5 quadrati di lato progressivamente minore, da 5 a 1. Quindi il

2 2 2 2 2

numero di palle è: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 55 palle.

Più in generale la formula per ottenere il numero di palle in una piramide di base quadrate in

funzione del lato della base è: 2

Σ i

N = i=1,n www.matematicamente.it

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Piramidi triangolari

Vediamo ora cosa succede se volessimo raggruppare le palle su una piramide a base triangolare.

Per iniziare, come per la piramide a base quadrata, partiamo da un triangolo di base 5:

A questo punto passiamo al triangolo successivo che si formerà nei punti centrali rispetto a tre palle

contigue:

Continuando in questo modo si arriverà a costruire la piramide completa:

Di quante palle sarà composta?

Per rispondere a questa domanda è sufficiente osservare che ogni piano della piramide è un numero

triangolare e ogni piano confinante è costituito da due numeri triangolari successivi. Ora, come

visto al punto “Spirali quadrate”, la somma di due numeri triangolari successivi dà un numero

quadrato (es. T (il 5° numero triangolare) + T = Q (il 5° numero quadrato): 15 + 10 = 25).

5 4 5

Quindi la nostra piramide sarà formata da:

T + T + T + T + T = Q + Q + Q = 25 + 9 + 1 = 35 palle

5 4 3 2 1 5 3 1 www.matematicamente.it